 |
A K. 819. feladat (2024. szeptember) |
K. 819. Kati a táblára felírt \(\displaystyle 10\) darab \(\displaystyle +1\)-et. Egyszerre megváltoztathatja tetszőleges \(\displaystyle 5\) számnak az előjelét (nevezzük ezt egy ,,lépés''-nek). Ezt a változtatást az aktuálisan a táblán levő számok közül tetszőlegesen kiválasztott \(\displaystyle 5\) számmal akárhányszor megteheti. El tudja-e érni azt, hogy a táblán \(\displaystyle 9\) darab \(\displaystyle +1\) és \(\displaystyle 1\) darab \(\displaystyle -1\) szerepeljen? Ha igen, akkor mennyi az ehhez szükséges minimális lépésszám?
(5 pont)
A beküldési határidő 2024. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Igen, elérhető, például az alábbi módon:
| \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) |
| \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) |
| \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) |
| \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle -1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) | \(\displaystyle +1\) |
Minden lépésben a \(\displaystyle -1\)-ek száma 5-tel, 3-mal vagy 1-gyel változik (nő vagy csökken). Az első lépés után 5 db \(\displaystyle +1\) és 5 db \(\displaystyle -1\) lesz. Innen páros számú lépéssel érhető el, hogy 1 db \(\displaystyle -1\) legyen, hiszen 4-gyel kell csökkenteni a \(\displaystyle -1\)-ek darabszámát. Tehát még legalább két lépés kell, és ez elég is a fentiek szerint, vagyis három lépés a minimum.
Statisztika:
175 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: 53 versenyző. 4 pontot kapott: 67 versenyző. 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 8 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 30 dolgozat.
A KöMaL 2024. szeptemberi matematika feladatai