A K. 82. feladat (2006. március)

K. 82. Van két, nem feltétlenül azonos méretű játékkockánk, melyek éleinek hossza egész szám. Egymásra tesszük ezeket úgy, hogy a felül levő kocka teljes lapjával érintkezzék az alul levő kocka egyik lapjával. Az így kapott test térfogatának mérőszáma megegyezik a felszínének a mérőszámával. Mekkorák az eredeti kockák élei?

(6 pont)

A beküldési határidő 2006. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás: Legyen az alul levő kocka éle a, a felül levőé b. A teljes lappal érintkezés csak úgy valósítható meg, ha ab. A kapott test térfogata a³+b³, felszíne a két kocka felszínének összegéből kivonva az érintkező lap területének kétszerese: 6a²+6b²-2b². A feladat szövege szerint 6a²+6b²-2b²=a³+b³, azaz 6a²+4b²=a³+b³. Ha b értéke legalább 6, akkor a értéke is legalább 6, és ekkor 6a²a³, 4b²<b³, tehát 6a²+4b²<a³+b³, így az egyenlőség nem állhat fenn. A b értéke tehát csak 1, 2, 3, 4 vagy 5 lehet. Vizsgáljuk meg külön az a=b esetet! Ekkor 10a²=2a³, azaz a=b=5 adódik. A továbbiakban csak az a>b eseteket vizsgáljuk. Írjuk fel b lehetséges értékei esetén a megoldandó egyenletet! Figyelembe véve, hogy a>b, alkalmazhatunk felső becslést, amelyből a lehető legnagyobb értéke kiderül! A kapott lehetséges értékeket megvizsgálva megtalálhatjuk az összes megoldást.

Ha b értéke 1, akkora a kapott egyenlet 6a²+3=a³, ebből a becslés: a³=6a²+3<7a², ahonnan a maximális értéke 6, lehetséges értékei pedig 2, 3, 4, 5, 6; ezekből nincs egy megoldás sem.

Ha b értéke 2, akkor a a kapott egyenlet 6a²+8=a³, ebből a becslés: a³=6a²+8<7a², ahonnan a maximális értéke 6, lehetséges értékei pedig 3, 4, 5, 6; ezekből nincs egy megoldás sem.

Ha b értéke 3, akkor a a kapott egyenlet 6a²+9=a³, ebből a becslés: a³=6a²+9<7a², ahonnan a maximális értéke 6, lehetséges értékei pedig 4, 5, 6; ezekből nincs egy megoldás sem.

Ha b értéke 4, akkor a a kapott egyenlet 6a²=a³, ebből a megoldás a=6.

Ha b értéke 5, akkor a a kapott egyenlet 6a²-25=a³, ebből a becslés: a³=6a²-25<6a², ahonnan a maximális értéke 5, ekkor sincs megoldás.

Tehát két megoldás adódik: mindkét kocka éle 5 cm, vagy az egyiké 4, a másiké 6 cm.

Megjegyzés: Miután megtaláltuk b öt lehetséges értékét, további meggondolásokkal csökkenthetjük a vizsgálandó esetek számát. Lehet pl. a kapott egyenletekben oszthatósági feltételeket szabni: b=1, illetve 3 esetén a-nak 3-mal oszthatónak kell lennie, tehát csak a 3 és a 6, illetve csak a 6 jöhet szóba; b=2 esetén a-nak párosnak kell lennie stb. Vagy pl. azt is figyelembe lehet venni, hogy b=1,2,3 esetén a kapott egyenletek értelmében a³>6a², tehát a-nak eleve 6-nál nagyobbnak kéne lenni, ami nem is tud megvalósulni a felső becslés miatt.

Statisztika:

107 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bálint Alexandra Mercédesz, Bereczki 118 Katalin, Botlik Barnabás, Csere Kálmán, Dániel Balázs, Englert Dávid, Erdész Zsombor Bálint, Kovács 002 Krisztina, Kunos Ádám, Kurgyis Kata, Lantos Tamás, Meszlényi Regina, Petrik Laura, Petróczy Dóra Gréta, Seres Dániel, Szikszay László, Szlovák Emese, Varga Csilla, Zsupanek Alexandra.
5 pontot kapott:	Barna Barnabás, Besnyő Réka, Danyik Dávid, Horváth 623 Dóra, Jónás Eszter, Király Csilla, Pipek Orsolya, Slezsák Tamás, Szabó 313 Gábor, Szabó 963 Noémi, Szabó Eszter, Zlatniczki Ádám.
4 pontot kapott:	7 versenyző.
3 pontot kapott:	27 versenyző.
2 pontot kapott:	35 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2006. márciusi matematika feladatai