A K. 821. feladat (2024. szeptember)

K. 821. Egy \(\displaystyle 1~\mathrm{m}\) élhosszúságú, kocka alakú, felül nyitott edény aljába egy henger alakú, felül nyitott edényt helyeztek, és azt a kocka alakú edény aljához rögzítették. A kocka alakú edénybe egy csapból egyenletesen folyik a víz a hengeren kívüli részbe. Azt tapasztaljuk, hogy a vízszint a kocka falán \(\displaystyle 10\) percig egyenletesen emelkedik, aztán \(\displaystyle 10\) percre megáll az emelkedése, majd amikor ismét elkezd emelkedni, onnan számítva \(\displaystyle 20\) perc alatt telik meg teljesen a kocka alakú edény. Mekkora a henger alakú edény alapkörének sugara, és mekkora a magassága?

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A kocka alakú edényben addig emelkedik a víz, amíg el nem éri a henger alakú edény tetejét. Innen kezdve a víz belefolyik a henger alakú edénybe, és csak akkor kezd el újra emelkedni a vízszint, amikor már a henger alakú edény megtelt. Mivel \(\displaystyle 10\) percig emelkedik, és \(\displaystyle 10\) percig stagnál, ezért a henger alakú edény alapterülete feleakkora kell legyen, mint a kocka alapterülete. Amikor elkezd emelkedni, akkor az emelkedés sebessége emiatt a felére csökken, így ha \(\displaystyle 20\) perc alatt telik meg a kocka alakú edény, akkor a henger alakú edény magassága a kocka alakú edény magasságának pont a fele. Tehát a henger alakú edény magassága \(\displaystyle 0,\!5\) m, alapterülete \(\displaystyle r^2\pi=0,\!5\), azaz \(\displaystyle r=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\approx0,3989\) méter, ami jó közelítéssel \(\displaystyle 4\) dm.

Statisztika:

148 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	87 versenyző.
4 pontot kapott:	15 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	23 dolgozat.

A KöMaL 2024. szeptemberi matematika feladatai