A K. 824. feladat (2024. október)

K. 824. Az $\displaystyle \textrm{ABABABABABAB}$ betűsorból kiindulva minden lépésben felcserélhetünk két szomszédos betűt. Legalább hány lépésre van szükség ahhoz, hogy eljussunk az $\displaystyle \textrm{AAAAAABBBBBB}$ betűsorhoz?

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle \textrm{A}$ betűk helyszámának összege kezdetben $\displaystyle 1+3+5+7+9 +11 = 36$, a végállapotban $\displaystyle 1+2+3+4+5+6 = 21$. Minden lépésben vagy 1-gyel nő, vagy 1-gyel csökken valamelyik $\displaystyle \textrm{A}$ betűnek a helyszáma (egyszerre csak egynek nőhet, illetve egynek csökkenhet). Ezért legalább 15 olyan lépésre szükség van, amelyben az A betűk összes helyszáma csökken (mert egy lépésben maximum 1-gyel tud csökkenni). 15 lépéssel meg is oldható a feladat: mindig $\displaystyle \textrm{AB}$ cserét kell csinálnunk úgy, hogy az $\displaystyle \textrm{A}$ betű balra haladjon; csak akkor nem tudunk ilyet csinálni, amikor már előállt a kívánt végállapot.

Statisztika:

166 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Cseres-Gergely Kinga, Lovas Márk, Maróti Dóra Anna, Molnár Levente, Pászti Sámuel, Péter Tamás, Rózsa Péter, Szegedi András.
4 pontot kapott:	Bálint Barnabás, Barta Zsófia, Bloemsma Péter Sándor, Bodor Benedek, Chen Kewei, Csík Zoltán Richárd, Győrffy Csanád, Harangozó Bálint, Holló Barnabás, Kudomrák Lili Anna , Kun Milán, Lay Kristóf, Medgyesi András, Osztényi Áron , Patócs 420 Péter, Szighardt Anna, Sztankov Áron Attila, Verebély Dániel.
3 pontot kapott:	14 versenyző.
2 pontot kapott:	33 versenyző.
1 pontot kapott:	54 versenyző.
0 pontot kapott:	17 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	22 dolgozat.

A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai