A K. 825. feladat (2024. október)

K. 825. Tekintsünk a síkon $\displaystyle 4202$ különböző pontot. Van-e olyan kör, amelyik ezek közül egyiken sem megy át, továbbá amelynek a belsejébe ezen pontok közül pontosan $\displaystyle 2024$ db esik?

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Vegyük a $\displaystyle 4202$ pontból kiválasztható összes pontpár által meghatározott szakaszok felezőmerőlegeseit. Ez véges sok egyenes, ezért van a síknak olyan pontja, amely ezek közül egyiken sincs rajta; legyen egy ilyen pont $\displaystyle K$. Mivel egyik felezőmerőleges sem tartalmazza, ezért $\displaystyle K$-nak a $\displaystyle 4202$ ponttól vett távolsága mind különböző. Vegyük ezen távolságok közül nagyságrendi sorrendben a legkisebbtől felfelé haladva a $\displaystyle 2024$. és $\displaystyle 2025$. értéket. Ha olyan kört rajzolunk, amelynek sugara ezen két távolság közé esik, és középpontja $\displaystyle K$, ezen a körön belül pontosan $\displaystyle 2024$ db pont lesz.

Statisztika:

107 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csík Zoltán Richárd, Győrffy Csanád, Holló Barnabás, Kudomrák Lili Anna , Kun Milán, Laczó Zoltán, Lovas Márk, Máté Zsófia, Mátyás Levente, Medgyesi András, Mikó Petra, Pászti Sámuel, Patócs 420 Péter, Pocsay Bence Máté, Radošická Emma, Rózsa Péter, Scott Elizabeth, Verebély Dániel.
4 pontot kapott:	Bloemsma Péter Sándor, Chen Zhibo, Fehér Ádám, Fórján Bernát, Hollósi Dominik, Martin-Hajdu Péter, Mikesz Milán, Szabados Ákos, Xu Jianan, Zsilák Márk Péter.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	56 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	16 dolgozat.

A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai