A K. 826. feladat (2024. október)

K. 826. Igazoljuk, hogy ha hét egymást követő pozitív egész szám szorzata osztható \(\displaystyle 1000\)-rel, akkor kiválasztható közülük három, amelyek szorzata szintén osztható \(\displaystyle 1000\)-rel.

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel \(\displaystyle 1000 = 2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot5\), ezért a kiválasztott számoknak ezeket a prímtényezőket összességében tartalmazniuk kell. A hét egymást követő szám között mindenképpen van három páros, és pontosan két \(\displaystyle 5\)-tel osztható. Mivel a szorzatuk osztható \(\displaystyle 125\)-tel, ezért az egyik \(\displaystyle 5\)-tel osztható számnak \(\displaystyle 25\)-tel is oszthatónak kell lennie. A két \(\displaystyle 5\)-tel osztható szám közül az egyik páros, a másik páratlan, mert különbségük \(\displaystyle 5\), vagyis páratlan szám. A hét szám között levő három páros szám között biztosan van \(\displaystyle 4\)-gyel is osztható. Ha tehát kiválasztjuk a két \(\displaystyle 5\)-tel osztható számot, akkor ha egyikük \(\displaystyle 4\)-gyel is osztható, akkor bármelyik páros szám választható harmadiknak; ha pedig \(\displaystyle 4\)-gyel nem osztható az \(\displaystyle 5\)-tel osztható páros szám, akkor tudunk egy harmadik számot választani, ami \(\displaystyle 4\)-gyel osztható. Így a kiválasztott három szám szorzata osztható lesz \(\displaystyle 5\cdot25\cdot2\cdot4 = 1000\)-rel.

Statisztika:

A K. 826. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai