A K. 826. feladat (2024. október)

K. 826. Igazoljuk, hogy ha hét egymást követő pozitív egész szám szorzata osztható $\displaystyle 1000$-rel, akkor kiválasztható közülük három, amelyek szorzata szintén osztható $\displaystyle 1000$-rel.

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel $\displaystyle 1000 = 2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot5$, ezért a három kiválasztott számnak számnak összesen három $\displaystyle 2$-est és három $\displaystyle 5$-öst tartalmazna kell prímtényezőként. A hét egymást követő szám között mindenképpen egy vagy két $\displaystyle 5$-tel osztható. Mivel a szorzatuk osztható $\displaystyle 125$-tel, ezért ha két $\displaystyle 5$-tel osztható van közöttük, akkor az egyik $\displaystyle 5$-tel osztható számnak $\displaystyle 25$-tel is oszthatónak kell lennie, különben a hét szám szorzata nem lenne osztható $\displaystyle 125$-tel. A két $\displaystyle 5$-tel osztható szám közül az egyik páros, a másik páratlan, mert különbségük $\displaystyle 5$, vagyis páratlan szám. A hét szám között biztos van három egymás utáni páros szám, így ezek között biztosan van $\displaystyle 4$-gyel osztható is.

Ha tehát a két $\displaystyle 5$-tel osztható szám közül a páros $\displaystyle 4$-gyel is osztható, akkor ezt a két $\displaystyle 5$-tel osztható számot és még egy (bármely) páros számot kiválasztva három olyat kapunk, melyek szorzata osztható $\displaystyle 1000$-rel.

Ha a két $\displaystyle 5$-tel osztható szám közül a páros $\displaystyle 4$-gyel nem osztható, akkor ezt a két $\displaystyle 5$-tel osztható számot és még egy $\displaystyle 4$-gyel is osztható páros számot kiválasztva három olyat kapunk, melyek szorzata osztható $\displaystyle 1000$-rel.

Ha csak egy $\displaystyle 5$-tel osztható szám van a hét egymást követő között, akkor az szükségképpen osztható $\displaystyle 125$-tel. Így ezt a számot és a három páros szám közül egy $\displaystyle 4$-gyel is oszthatót meg egy másikat kiválasztva lesz legfeljebb három számunk, amiknek a szorzata osztható $\displaystyle 1000$-rel. Ha ez csak két szám, mert az egyik páros pont a $\displaystyle 125$-tel is osztható, akkor persze bármelyik eddig nem kiválasztottat hozzájuk vehetjük harmadiknak.

Statisztika:

126 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Cseres-Gergely Kinga, Csík Zoltán Richárd, Hajdu Vince, Holló Barnabás, Leitner-Takács Bende, Lovas Márk, Molnár Levente, Mosonyi Mátyás, Pásztor Lea Kata, Rózsa Péter, Szighardt Anna.
4 pontot kapott:	Bálint Barnabás, Bloemsma Péter Sándor, Fehér Ádám, Felföldi Zsófia, Fórján Bernát, Győrffy Csanád, Havasi Dominik, Izsa Ferenc Gergő, Kudomrák Lili Anna , Majer Veronika, Máté Zsófia, Medgyesi András, Molnár Boldizsár, Pászti Sámuel, Patócs 420 Péter, Péter Tamás, Pocsay Bence Máté, Radošická Emma, Szabados Ákos, Verebély Dániel, Zsilák Márk Péter.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	19 versenyző.
1 pontot kapott:	24 versenyző.
0 pontot kapott:	25 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	16 dolgozat.

A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai