A K. 826. feladat (2024. október)

K. 826. Igazoljuk, hogy ha hét egymást követő pozitív egész szám szorzata osztható \(\displaystyle 1000\)-rel, akkor kiválasztható közülük három, amelyek szorzata szintén osztható \(\displaystyle 1000\)-rel.

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. november 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Mivel \(\displaystyle 1000 = 2\cdot2\cdot2\cdot5\cdot5\cdot5\), ezért a három kiválasztott számnak számnak összesen három \(\displaystyle 2\)-est és három \(\displaystyle 5\)-öst tartalmazna kell prímtényezőként. A hét egymást követő szám között mindenképpen egy vagy két \(\displaystyle 5\)-tel osztható. Mivel a szorzatuk osztható \(\displaystyle 125\)-tel, ezért ha két \(\displaystyle 5\)-tel osztható van közöttük, akkor az egyik \(\displaystyle 5\)-tel osztható számnak \(\displaystyle 25\)-tel is oszthatónak kell lennie, különben a hét szám szorzata nem lenne osztható \(\displaystyle 125\)-tel. A két \(\displaystyle 5\)-tel osztható szám közül az egyik páros, a másik páratlan, mert különbségük \(\displaystyle 5\), vagyis páratlan szám. A hét szám között biztos van három egymás utáni páros szám, így ezek között biztosan van \(\displaystyle 4\)-gyel osztható is.

Ha tehát a két \(\displaystyle 5\)-tel osztható szám közül a páros \(\displaystyle 4\)-gyel is osztható, akkor ezt a két \(\displaystyle 5\)-tel osztható számot és még egy (bármely) páros számot kiválasztva három olyat kapunk, melyek szorzata osztható \(\displaystyle 1000\)-rel.

Ha a két \(\displaystyle 5\)-tel osztható szám közül a páros \(\displaystyle 4\)-gyel nem osztható, akkor ezt a két \(\displaystyle 5\)-tel osztható számot és még egy \(\displaystyle 4\)-gyel is osztható páros számot kiválasztva három olyat kapunk, melyek szorzata osztható \(\displaystyle 1000\)-rel.

Ha csak egy \(\displaystyle 5\)-tel osztható szám van a hét egymást követő között, akkor az szükségképpen osztható \(\displaystyle 125\)-tel. Így ezt a számot és a három páros szám közül egy \(\displaystyle 4\)-gyel is oszthatót meg egy másikat kiválasztva lesz legfeljebb három számunk, amiknek a szorzata osztható \(\displaystyle 1000\)-rel. Ha ez csak két szám, mert az egyik páros pont a \(\displaystyle 125\)-tel is osztható, akkor persze bármelyik eddig nem kiválasztottat hozzájuk vehetjük harmadiknak.

Statisztika:

126 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Cseres-Gergely Kinga, Csík Zoltán Richárd, Hajdu Vince, Holló Barnabás, Leitner-Takács Bende, Lovas Márk, Molnár Levente, Mosonyi Mátyás, Pásztor Lea Kata, Rózsa Péter, Szighardt Anna.
4 pontot kapott:	Bálint Barnabás, Bloemsma Péter Sándor, Fehér Ádám, Felföldi Zsófia, Fórján Bernát, Győrffy Csanád, Havasi Dominik, Izsa Ferenc Gergő, Kudomrák Lili Anna , Majer Veronika, Máté Zsófia, Medgyesi András, Molnár Boldizsár, Pászti Sámuel, Patócs 420 Péter, Péter Tamás, Pocsay Bence Máté, Radošická Emma, Szabados Ákos, Verebély Dániel, Zsilák Márk Péter.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	19 versenyző.
1 pontot kapott:	24 versenyző.
0 pontot kapott:	25 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	16 dolgozat.

A KöMaL 2024. októberi matematika feladatai