A K. 829. feladat (2024. november)

K. 829. Melyik az a két legkisebb szomszédos pozitív egész szám, amelyeknek a számjegyeit összeadva éppen 2024-et kapunk?

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Biztosan van a számban tízes átlépés, mert ha nem lenne, akkor a számjegyek összege páratlan lenne, hiszen ekkor az utolsó számjegy 1-gyel nő, míg a többi nem változik, így a többi számjegy összege páros, a két utolsó számjegy összege pedig páratlan.

A kisebb szám 9-re végződik, így az 1-gyel nagyobb számban az egyesek helyiértékén 0, a tízesek helyiértékén 1-gyel nagyobb szám áll, mint a kisebb számban. Ha a kisebb szám nem 99-re végződik, akkor a számjegyeinek összege 8-cal nagyobb, mint a kisebb számé. Különben viszont a \(\displaystyle \ldots99\) végződésből \(\displaystyle \ldots.00\) lenne, ezért a 2024 számjegyösszeghez több számjegyre lenne szükség a több 0 miatt, azaz ebben az esetben nem a legkisebb számokat kapnánk. Ezek miatt tehát a kisebb számban a számjegyek összege \(\displaystyle (2024+8):2 =1016\).

Mivel a legkisebb ilyen számokat keressük, így a lehető legkevesebb számjegyet szeretnénk, ezért a legnagyobb (9-es) számjegyeket kell használnunk. Mivel \(\displaystyle 1016=9\cdot112+8\), ezért 112 db 9-es és egy 8-as számjegy szerepel a kisebb számban, mégpedig úgy, hogy ne 99-re végződjön. Ekkor egyetlen és legjobb lehetőségünk a kisebb számra \(\displaystyle 999\ldots9989\), melyben a 8-as előtt 111 db 9-es áll.

Statisztika:

A K. 829. feladat értékelése még nem fejeződött be.

A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai