A K. 830. feladat (2024. november)

K. 830. Egyes úszóversenyeken rendeznek úgynevezett mix (vegyes összeállítású) \(\displaystyle 4\times100~\mathrm{m}\) vegyesváltó versenyt. Ez azt jelenti, hogy két férfi és két nő alkotja a csapatot, és minden úszásnemben \(\displaystyle 100\) métert kell teljesíteni. Az szabadon választható, hogy melyik úszásnemben versenyeznek a csapat női és férfi tagjai.

A legjobb időt elért versenyzők \(\displaystyle 100\) méteres részeredményeinek táblázata a következő:

Feltételezve, hogy egy versenyen pontosan ugyanezt az eredmény tudják produkálni, milyen összeállítású legyen a csapat, hogy a legjobb időeredményt érjék el?

(5 pont)

A beküldési határidő 2024. december 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az elvileg elérhető leggyorsabb csapat akkor jön ki, ha a legjobb időeredményeket hasonlítjuk össze a férfiak és a nők esetében, és úgy választjuk ki a két női csapattagot és úszásnemet hozzájuk, hogy a férfiak eredményéhez a legkisebb plusz idő adódjon hozzá. (A táblázatban látható, hogy a legjobb három férfi minden úszásnemben gyorsabb, mint a legjobb három nő). A táblázat alapján a hátúszásban +5,03 mp, a mellúszásban +6,25 mp, a pillangóban +5,68 mp, a gyorsúszásban +4,96 mp az eltérés az első helyek között. A leggyorsabbak tehát akkor lennének, ha a gyorsúszásban és a hátúszásban szerepelne a legjobb nő, a másik kettőben pedig a legjobb férfi. Ez viszont nem valósítható meg, hiszen Xénia csak egyszer úszhat. Látható továbbá, hogy a mellúszó választása nem befolyásolja a többi úszásnemet, így ott a különbség a férfi-nő csere esetén mindig ugyanannyi.

Két esetet kell tehát megvizsgálnunk:

1. eset. Gyorsúszásban Xénia megy (+4,96 mp). Ekkor ha megy a pillangón, akkor az +5,68 mp, ha Zóra megy a hátúszásban, az +5,42 mp, tehát ebben az esetben Zóra beállítása gyorsabb csapatot ad (+4,96+5,42 = +10,38 mp). A férfi mellúszót ebben az esetben nem érdemes cserélni.

2. eset. Xénia hátúszásban megy (+5,03 mp). Ha Yvette megy pillangón, akkor az +5,68 mp, ha Yvette gyorsúszásban megy, akkor az +5,29 mp, tehát ebben az esetben Yvette a gyorsúszással gyorsabb csapatot ad (+5,03+5,29 = +10,32 mp), és a férfi mellúszót ebben az esetben sem érdemes cserélni. Ez jobb idő, mint az 1. esetben kapott csapat, így ezt az összeállítást kell választani: Xénia hát, Ferenc mell, András pillangó és Yvette gyors.

Megjegyzés. Az úgynevezett mohó algoritmus (minden lépésben válasszuk a lehető legjobbat) az 1. esetnek megfelelő csapatot adná, ami láthatóan nem a legjobb. Ezért kell körültekintően mérlegelni a választási lehetőségeket több lépésre előre figyelve.

Statisztika:

114 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Abonyi Gábor, Chen Zhibo, Császi Balázs, Csehi Panna, Csík Zoltán Richárd, Fülöp Balázs, Győrffy Csanád, Hajdu Vince, Hollósi Dominik, Imolya Mirella Petra, Izsa Ferenc Gergő, Jancsurák Flóra, Kaj Huba Csaba, Medgyesi András, Rácz Koppány Bendeguz, Rózsa Péter, Söderberg Kajsa.
4 pontot kapott:	39 versenyző.
3 pontot kapott:	17 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	12 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	13 dolgozat.

A KöMaL 2024. novemberi matematika feladatai