A K. 850. feladat (2025. március)

K. 850. A tanár felírt a táblára egy kétjegyű pozitív prímszámot és egy $\displaystyle 0$-tól különböző számjegyet. Sanyi, Kati és Joli egy-egy háromjegyű számot hozott létre a felírt számokból. Sanyi a felírt kétjegyű prímszám végére írta a megadott számjegyet, Kati a kétjegyű prím két számjegye közé, Joli pedig a prímszám elejére. Így Sanyi háromjegyű száma $\displaystyle 45$-tel több lett, mint Katié, és $\displaystyle 225$-tel több, mint Jolié. Melyik prímszámot, és melyik számjegyet írta fel a tanár a táblára?

(5 pont)

A beküldési határidő 2025. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelölje $\displaystyle \overline{ab}$ a kétjegyű prímszámot, és $\displaystyle c$ a felírt számjegyet. Sanyi száma $\displaystyle 100{a}+10{b}+{c}$, Katié $\displaystyle 100{a}+10{c}+{b}$, Joláné $\displaystyle 100{c}+10{a}+{b}$. A megadott feltételekből $\displaystyle 100{a}+10{b}+{c} = 100{a}+10{c}+{b}+45$, rendezve $\displaystyle b-c = 5$. A két feltételt összevetve Kati és Joli száma közt 180 az eltérés Kati száma javára, így $\displaystyle 100{a}+10{c}+{b} = 100{c}+10{a}+{b}+180$, rendezve $\displaystyle a-c = 2$.

Tehát ha $\displaystyle {a} = {c}+2$ és $\displaystyle {b} = {c}+5$, akkor az $\displaystyle \overline{ab}$ és $\displaystyle c$ számok megfelelnek a feltételeknek. A lehetőségek: 1 és 36, 2 és 47, 3 és 58, 4 és 69. A kapott kétjegyű számok közül csak a 47 prím, így a felírt prímszám a 47, a felírt számjegy a 2. Ellenőrizhető, hogy $\displaystyle 472 - 427 = 45$ és $\displaystyle 472 - 247= 225$.

Statisztika:

100 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	53 versenyző.
4 pontot kapott:	24 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	15 dolgozat.

A KöMaL 2025. márciusi matematika feladatai