A K. 87. feladat (2006. szeptember)

K. 87. Az egyenlő szárú Pitagorasz-fa a következőképpen nő: első évben kinő a törzse, amely egy négyzet. A második évben ennek tetején egy egyenlő szárú derékszögű háromszög nő úgy, hogy átfogója a négyzet felső éle, valamint a háromszög két befogójából kiágazik az első két ág, amelyek szintén négyzetek. Ezután minden évben ez ismétlődik, azaz minden korábbi négyzet felső élére egy egyenlő szárú derékszögű háromszög nő, és azok befogói új négyzetágakat növesztenek. Feltéve, hogy a fa törzse (azaz az első négyzet) oldala 8 méter, a negyedik év végén milyen magas, illetve milyen széles lesz a fa? (Segítség: rajzoljuk le a fát méretarányosan négyzetrácsos lapra.)

(6 pont)

A beküldési határidő 2006. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás: A négyzetek az átlóik behúzásával a rájuk kerülő egyenlőszárú derékszögű háromszögekkel egybevágó háromszögekre bonthatók, így könnyen számíthatók a kért adatok, a fa magassága 8+4+4+4+4=24 méter, szélessége 2^.(4+4+4+4)=32 méter.

(A fával a következő internetes oldalon lehet játszani: http://www.ies.co.jp/math/java/geo/pytreea/pytreea.html )

Statisztika:

312 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	102 versenyző.
5 pontot kapott:	7 versenyző.
4 pontot kapott:	29 versenyző.
3 pontot kapott:	58 versenyző.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	87 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2006. szeptemberi matematika feladatai