A P. 4310. feladat (2011. január)

P. 4310. Egy légpuskát modellezzünk úgy, hogy kezdetben V₁ térfogatban, p₁ nyomású sűrített levegőt tartalmaz. A tartály előtti csőben kicsiny, m tömegű lövedék helyezkedik el, közvetlenül a tartály kimeneti nyílása előtt.

a) Milyen hosszú legyen a cső, hogy a lövedék a lehető legnagyobb sebességre gyorsuljon fel?

b) Mekkora lehet a lövedék maximális sebessége?

(A súrlódástól és a nagynyomású levegő elszivárgásától tekintsünk el!)

Adatok: m=0,51 g, a puskacső belső átmérője 4,5 mm, p₁=2 MPa, V₁=1 cm³.

Közli: Honyek Gyula, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2011. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ Ideális esetben a cső éppen olyan hosszú, hogy a lövedék gyorsulása a puska végéhez érve éppen zérussá válik. A folyamat gyorsasága miatt gázban lejátszódó nemegyensúlyi folyamatot modellezhetjük adiabatikus állapotváltozással. Ezek felhasználásával a puskacső ideális hosszára

$\displaystyle L=\frac{4\left[ \left( \frac{p_1}{p_0} \right)^{\frac{1}{\kappa}}-1\right]V_1}{D^2 \pi}\approx 47 \text{ cm}$

adódik (levegőre $\displaystyle \kappa\approx 7/5$ a fajhőviszony).

$\displaystyle b)$ Az adiabatikus állapotváltozás miatt a gáz belső energiájának megváltozásának és a gáz munkájának az összege zérus. A gáz munkája egyrészt növeli a lövedék mozgási energiáját ($\displaystyle mv^2/2$), másrészt ,,megemeli a légkört" ($\displaystyle p_0\Delta V$). Ebből a lövedék sebességére az ideális csőhossznál a következő adódik:

$\displaystyle v=\sqrt{\frac{2}{m}\left( \frac{f}{2}\left(p_1 V_1-p_0\left(V_1+\frac{D^2\pi}{4}L \right)\right)-p_0 \frac{D^2\pi}{4}L \right)}\approx 91 \text{ m/s}.$

Statisztika:

93 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	56 versenyző.
4 pontot kapott:	3 versenyző.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	7 versenyző.
0 pontot kapott:	19 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2011. januári fizika feladatai