A P. 4759. feladat (2015. október)

P. 4759. Mekkora szöget kell bezárni két erőnek, hogy az eredőjük nagysága akkora legyen, mint a két erő nagyságának mértani közepe?

Mi a feltétele annak, hogy ez a szög minimális legyen, és mekkora ez a minimális érték?

Strasser V. Benő (1884-1966) feladata

(4 pont)

A beküldési határidő 2015. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A megadott feltétel szerint

$\displaystyle \sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1F_2\cos\alpha}=\sqrt{F_1F_2},$

ahonnan (a számtani és mértani közepekre vonatkozó egyenlőtlenség alkalmazásával)

$\displaystyle 1-2\cos\alpha=\frac{F_1}{F_2}+\frac{F_2}{F_1}\ge 2\sqrt{\frac{F_1}{F_2}\cdot\frac{F_2}{F_1}}=2,$

vagyis $\displaystyle \cos\alpha\le -\frac{1}{2},$ azaz $\displaystyle \alpha\ge 120^\circ$. Az egyenlőség akkor áll fenn, ha $\displaystyle F_1=F_2$.

Megjegyzés. Amennyiben a két erő nagyságának aránya nagyobb, mint $\displaystyle \frac{3+\sqrt{5}}{2}\approx 2{,}62,$ illetve kisebb, mint $\displaystyle \frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0{,}38,$ a megadott feltétel semmilyen $\displaystyle \alpha$ szög mellett nem teljesülhet.

Statisztika:

110 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	67 versenyző.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	17 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2015. októberi fizika feladatai