A P. 4791. feladat (2015. december)

P. 4791. Petiék kazánja mostanában nagyon furcsa hangokat ad, mintha fel akarna robbanni. Ezért hívnak egy szerelőt, aki megállapítja, hogy lerakódás van a csőben, amit ,,ki kell majd savazni''. Petitől megkérdezi az öccse, hogyan keletkezhetett a furcsa hang, és miért van a kazán vizének hőmérsékletét mérő hőmérő $\displaystyle 120~{}^\circ$C-ig skálázva, hiszen akkor már úgyis elforrna a víz. Vajon a cső keresztmetszetének mekkora része záródhatott el?

Mit válaszolt ezekre a kérdésekre Peti?

Adatok: A csőben $\displaystyle 80~{}^\circ$C-os víz van, a nyomásmérő 1,2 bar (túl)nyomást mutat, és rendes működés mellett a szivattyú 3 m/s-os sebességgel keringeti a vizet.

Közli: Juhász Péter, Cambridge, UK

(6 pont)

A beküldési határidő 2016. január 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A kazánban lévű víz nyomása nagyobb a légköri nyomásnál, emiatt a víz forráspontja $\displaystyle 120\,^\circ$C-nál magasabb. 1,3 bar túlnyomáson (2,3 bar nyomáson) például a forráspont $\displaystyle 125\,^\circ$C, célszerű tehát olyan hőmérőt alkalmazni, ami még ekkora (vagy ehhez közeli) hőmérsékleteket is mérni tud.

A furcsa zúgó hangot a csővezetékben keletkező gőzbuborékok képződése, illetve ezek ,,összeroppanása'', tehát a víz kezdődő forrása okozhatja. A forrás $\displaystyle 80\,^\circ$C-on ott indulhat meg, ahol – valamilyen ok miatt – a víz nyomása lecsökken az ezen hőmérséklethez tartozó telített gőz nyomására, ami táblázati adatok szerint 0,47 bar.

A csövekben keringő víz nyomása ott csökkenhet le, ahol megnő az áramlás sebessége. A Bernoulli-törvény szerint egy vízszintes csődarabban érvényes, hogy

$\displaystyle p_1+\varrho\frac{v_1^2}{2}=p_2+\varrho\frac{v_2^2}{2},$

ahol $\displaystyle \varrho$ a víz sűrűsége, $\displaystyle p_{1,2}$ a nyomása, $\displaystyle v_{1,2}$ pedig az áramlás sebessége.

Megjegyzés. A Bernoulli-törvény a tömegpontok mechanikából jól ismert munkatétel áramló folyadékokra történő alkalmazása. Ha egy csődarabba $\displaystyle A_1$ keresztmetszetű részen (időben állandóan) $\displaystyle v_1$ sebességgel áramlik be a $\displaystyle \varrho$ sűrűségű folyadék, $\displaystyle A_2$ keresztmetszetű részen pedig $\displaystyle v_2$ sebességgel áramlik ki onnan, akkor $\displaystyle \Delta t$ idő alatt $\displaystyle \varrho A_1v_1\Delta t$ tömegű anyag folyik be a csődarabba, illetve $\displaystyle \varrho A_2v_2\Delta t$ tömegű anyag folyik ki. Ezek természetesen megegyeznek, vagyis fennáll, hogy $\displaystyle A_1v_1=A_2v_2$. A folyadékra a csődarab végein $\displaystyle A_1p_1$, illetve $\displaystyle A_2p_2$ erő hat, a munkatétel tehát így írható fel:

$\displaystyle A_1p_1\cdot v_1\Delta t-A_2p_2\cdot v_2\Delta t= \varrho A_2v_2\Delta t \frac{v_2^2}{2}- \varrho A_1v_1\Delta t \frac{v_1^2}{2}.$

Ebből egyszerűsítés és átrendezés után a Bernoulli-törvény fentebb megadott alakja következik.

A megadott és azokból kiszámítható adatok szerint $\displaystyle \Delta p\approx 1{,}7$ bar, tehát az áramlás sebessége a forrás megindulásának helyén

$\displaystyle v_2=\sqrt{v_1^2+\frac{2\Delta p}{\varrho}}\approx 19~\frac{\rm m}{\rm s}.$

Ez a cső többi részeiben keringő víz sebességének kb. 6,3-szorosa.

A megnövekedett áramlási sebesség helyén a cső keresztmetszete a többi rész keresztmetszetének mintegy $\displaystyle \tfrac16$-a, az vízköves (vagy egyéb eredetű) lerakódás tehát a cső keresztmetszetének több, mint 80 százalékát zárta el.

Statisztika:

25 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Asztalos Bogdán, Balogh Menyhért, Blum Balázs, Csorba Benjámin, Forrai Botond, Kasza Bence, Kovács Péter Tamás, Sal Kristóf, Szick Dániel, Tomcsányi Gergely.
5 pontot kapott:	Csenger Géza, Csuha Boglárka, Kardos Réka, Krasznai Anna, Németh Csaba Tibor, Németh Flóra Boróka, Tófalusi Ádám.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2015. decemberi fizika feladatai