A P. 4829. feladat (2016. március)

P. 4829. Két különböző, $\displaystyle m_1$ és $\displaystyle m_2$ tömegű csillag egymás gravitációs terében mozog, miközben más erő nem hat rájuk. Egy adott pillanatban a távolságuk $\displaystyle d_0$, a sebességük pedig olyan és akkora, mintha a közös tömegközéppontjuk körül $\displaystyle \omega_0$ szögsebességgel keringenének.

$\displaystyle a)$ Legfeljebb mekkora $\displaystyle \omega_0$, ha $\displaystyle d_0$ a két csillag legnagyobb távolsága, és legalább mekkora, ha $\displaystyle d_0$ a minimális távolságuk?

$\displaystyle b)$ Mekkora $\displaystyle \omega_0$ mellett nem képes a gravitáció összetartani a rendszert?

$\displaystyle c)$ Mekkora a keringési idő, ha a gravitáció együtt tartja a rendszert?

(Lásd még ,,A gravitációs többtestprobléma két speciális esete'' című cikket a KöMaL 2015. évi decemberi számának 558. oldalán.)

Közli: Woynarovich Ferenc, Budapest

(6 pont)

A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ Ha $\displaystyle \omega_0$ éppen az

$\displaystyle \omega_\text{kör}= \sqrt{\gamma\frac{m_1+m_2}{d_0^3}}$

értékkel egyezik meg, akkor mindkét csillag körpályán kering a közös tömegközéppont körül, távolságuk állandóan $\displaystyle d_0$ marad. Ha $\displaystyle \omega_0 <\omega_\text{kör}$, akkor a csillagok távolsága nem lesz nagyobb $\displaystyle d_0$-nál, ha pedig $\displaystyle \omega_0 >\omega_\text{kör}$, akkor a távolságuk nem csökken $\displaystyle d_0$ alá.

$\displaystyle b)$ Ha a rendszer összenergiája pozitív (vagy nulla), akkor a rendszer nem kötött, a csillagok tetszőlegesen messzire eltávolodnak egymástól. Ez akkor következik be, ha $\displaystyle \omega_0\ge \sqrt{2}\,\omega_\text{kör}$.

$\displaystyle c)$ A kötött rendszer keringési ideje

$\displaystyle T=T_\text{kör}\left[2-\left(\frac{\omega_0}{\omega_\text{kör}} \right)^2 \right]^{-3/2},$

ahol $\displaystyle T_\text{kör}= \frac{2\pi}{\omega_\text{kör}}={2\pi}\sqrt{\frac{d_0^3}{\gamma (m_1+m_2)}}$ a körpályáknak megfelelő keringési idő.

Statisztika:

15 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Asztalos Bogdán, Balogh Menyhért, Blum Balázs, Fehér 169 Szilveszter, Forrai Botond, Iván Balázs, Kasza Bence, Németh 777 Róbert, Sal Kristóf, Tomcsányi Gergely.
5 pontot kapott:	Kovács Péter Tamás.
4 pontot kapott:	2 versenyző.
3 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2016. márciusi fizika feladatai