 |
A P. 4829. feladat (2016. március) |
P. 4829. Két különböző, \(\displaystyle m_1\) és \(\displaystyle m_2\) tömegű csillag egymás gravitációs terében mozog, miközben más erő nem hat rájuk. Egy adott pillanatban a távolságuk \(\displaystyle d_0\), a sebességük pedig olyan és akkora, mintha a közös tömegközéppontjuk körül \(\displaystyle \omega_0\) szögsebességgel keringenének.
\(\displaystyle a)\) Legfeljebb mekkora \(\displaystyle \omega_0\), ha \(\displaystyle d_0\) a két csillag legnagyobb távolsága, és legalább mekkora, ha \(\displaystyle d_0\) a minimális távolságuk?
\(\displaystyle b)\) Mekkora \(\displaystyle \omega_0\) mellett nem képes a gravitáció összetartani a rendszert?
\(\displaystyle c)\) Mekkora a keringési idő, ha a gravitáció együtt tartja a rendszert?
(Lásd még ,,A gravitációs többtestprobléma két speciális esete'' című cikket a KöMaL 2015. évi decemberi számának 558. oldalán.)
Közli: Woynarovich Ferenc, Budapest
(6 pont)
A beküldési határidő 2016. április 11-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Ha \(\displaystyle \omega_0\) éppen az
\(\displaystyle \omega_\text{kör}= \sqrt{\gamma\frac{m_1+m_2}{d_0^3}}\)
értékkel egyezik meg, akkor mindkét csillag körpályán kering a közös tömegközéppont körül, távolságuk állandóan \(\displaystyle d_0\) marad. Ha \(\displaystyle \omega_0 <\omega_\text{kör}\), akkor a csillagok távolsága nem lesz nagyobb \(\displaystyle d_0\)-nál, ha pedig \(\displaystyle \omega_0 >\omega_\text{kör}\), akkor a távolságuk nem csökken \(\displaystyle d_0\) alá.
\(\displaystyle b)\) Ha a rendszer összenergiája pozitív (vagy nulla), akkor a rendszer nem kötött, a csillagok tetszőlegesen messzire eltávolodnak egymástól. Ez akkor következik be, ha \(\displaystyle \omega_0\ge \sqrt{2}\,\omega_\text{kör}\).
\(\displaystyle c)\) A kötött rendszer keringési ideje
\(\displaystyle T=T_\text{kör}\left[2-\left(\frac{\omega_0}{\omega_\text{kör}} \right)^2 \right]^{-3/2},\)
ahol \(\displaystyle T_\text{kör}= \frac{2\pi}{\omega_\text{kör}}={2\pi}\sqrt{\frac{d_0^3}{\gamma (m_1+m_2)}}\) a körpályáknak megfelelő keringési idő.
Statisztika:
15 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Asztalos Bogdán, Balogh Menyhért, Blum Balázs, Fehér 169 Szilveszter, Forrai Botond, Iván Balázs, Kasza Bence, Németh 777 Róbert, Sal Kristóf, Tomcsányi Gergely. 5 pontot kapott: Kovács Péter Tamás. 4 pontot kapott: 2 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2016. márciusi fizika feladatai