 |
A P. 4850. feladat (2016. május) |
P. 4850. Egy kis labda tömege 5 g, átmérője 4 cm. A labdát \(\displaystyle 10~\frac{\rm m}{\rm s}\) sebességgel függőlegesen felfelé ütjük 1 bar nyomású, \(\displaystyle 20\,^\circ\)C hőmérsékletű levegőben. Közelítő számítással határozzuk meg, hogy
\(\displaystyle a)\) milyen magasra emelkedik a labda;
\(\displaystyle b)\) mennyi idő múlva ér vissza az elütés helyére;
\(\displaystyle c)\) visszaérkezéskor mekkora a sebessége.
Nagy László (1931-1987) feladata
(6 pont)
A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A közegellenállási erő nagysága \(\displaystyle F=\frac{1}{2}k\varrho A v^2\), ebből a labda mozgásegyenlete (SI egységekben):
\(\displaystyle a=-9{,}81\mp 0{,}0731\, v^2.\)
(A labda helyzetét megadó \(\displaystyle x\) koordinátát függőlegesen felfelé tekintjük pozitívnak. A képletben szereplő előjel a sebesség irányától függ.)
A fenti mozgásegyenlet \(\displaystyle x(t)\) megoldását keressük \(\displaystyle x(0)=0\) és \(\displaystyle v(0)=10\) kezdeti feltételek mellett. Mivel
\(\displaystyle v(t)\approx\frac{\Delta x}{\Delta t} \qquad \text{és}\qquad a(t)\approx\frac{\Delta v}{\Delta t},\)
egy elfogadható közelítő megoldás így kapható meg:
\(\displaystyle t_k=k\cdot \Delta t; \qquad x_k=x_{k-1}+v_k\,\Delta t, \qquad v_k=v_{k-1}+a_{k-1}\,\Delta t. \qquad (k=1,2,3,\ldots).\)
(Sokféle numerikus módszer létezik a differenciálegyenletek közelítő megoldására, a fenti eljárás ezek közül talán a legegyszerűbb.)
Az emelkedés \(\displaystyle x_{\rm max}\) magasságát a maximális \(\displaystyle x_k\), a leérkezés \(\displaystyle T\) idejét és \(\displaystyle v_{\rm le}\) sebességét pedig az \(\displaystyle x\) koordináta előjelváltása határozza meg. Az eredmény pontosságát a \(\displaystyle \Delta t\) intervallum csökkentésével lehet növelni. \(\displaystyle \Delta t=0{,}1~\)s mellett például
\(\displaystyle x_{\rm max}= 4{,}1~{\rm m},\qquad T=1{,}8~{\rm s}, \qquad v_{\rm le}=-8{,}1~{\rm m/s}\)
adódik.
A feladat magasabb matematikai módszerekkel ,,egzaktul'' is megoldható, az eredmény (három jegy pontossággal):
\(\displaystyle x_{\rm max}\approx 3{,}81~{\rm m},\qquad T=1{,}76~{\rm s}, \qquad v_{\rm le}=-7{,}57~{\rm m/s}.\)
Statisztika:
18 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Asztalos Bogdán, Balogh Menyhért, Blum Balázs, Di Giovanni András, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Forrai Botond, Iván Balázs, Kasza Bence, Kovács Péter Tamás, Körmöczi Dávid, Marozsák Tóbiás , Olosz Adél, Sal Kristóf. 5 pontot kapott: Páhoki Tamás, Szentivánszki Soma . 4 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2016. májusi fizika feladatai