 |
A P. 4855. feladat (2016. május) |
P. 4855. A nitrogén 13-as tömegszámú izotópja radioaktív, felezési ideje 10 perc. Kezdetben \(\displaystyle N\) darab\(\displaystyle ~^{13}\rm N\) atommag van jelen.
\(\displaystyle a)\) Mennyi atommag fog elbomlani 20 perc alatt, ha \(\displaystyle N=10^{10}\)?
\(\displaystyle b)\) Mit állíthatunk a 20 perc alatt elbomló atommagok számáról, ha \(\displaystyle N=4\)?
Közli: Szász Krisztián, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2016. június 10-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A felezési idő kétszerese alatt az atommagok 1/4-e nem bomlik el, tehát (jó közelítéssel állíthatjuk, hogy) \(\displaystyle 7{,}5\cdot 10^9\) számú atommag bomlik el 20 perc alatt. Természetesen nem mondhatjuk, hogy pontosan ennyi az elbomló atommagok száma, de a számított értéktől való relatív eltérés, \(\displaystyle N\gg 1\) miatt, igen csekély lehet csak.
\(\displaystyle a)\) Most is érvényes, hogy az elbomló atommagok várható száma \(\displaystyle 3N/4 =3\), de a ténylegesen elbomló atommagok száma lényegesen eltérhet a várakozásunktól, a \(\displaystyle 0,1,2,3\) és 4 számok bármelyike előfordulhat. Egy-egy atommagra (20 perc alatt) az elbomlásának valószínűsége 75%, az el nem bomlásáé 25%. Annak valószínűsége, hogy \(\displaystyle k\) számú atommag bomlik el a megadott idő alatt:
\(\displaystyle P_k=\frac{4!}{k! (4-k)!} \,0{,}75^k\, 0{,}25^{4-k},\)
azaz
\(\displaystyle P_4=31{,}6\%, \quad P_3=42{,}2\%, \quad P_2=21{,}1\%, \quad P_1=4{,}7\%, \quad P_0=0{,}4\%.\)
Látható, hogy a legnagyobb valószínűséggel 3 atommag bomlik el, de nem sokkal kisebb az esélye a 4, illetve 2 bomlásnak.
Megmutatható, hogy a bomlások számának várt értéke és a tényleges bomlások számának eltérése néhányszor \(\displaystyle \sqrt{N}\) lehet. Ez a szám az első esetben \(\displaystyle 10^5\), ami \(\displaystyle 10^{10}\)-nek mindössze 0,01 ezreléke. A második esetben viszont az eltérés \(\displaystyle \sqrt{4}=2\) néhányszorosa, tehát akár 3 is lehet, vagyis ilyenkor az elbomló atommagok számáról szinte semmi határozottat nem állíthatunk. A bomlások száma (ha nem is egyforma eséllyel) 2, 3 vagy 4 bármelyike lehet, még az 1 bomlásnak is számottevő az esélye, és csupán azt zárhatjuk ki (nagy valószínűséggel), hogy egyetlen atommag sem bomlik el 20 perc alatt.
Statisztika:
45 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Asztalos Bogdán, Balogh Menyhért, Csire Roland, Csorba Benjámin, Csuha Boglárka, Di Giovanni András, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Forrai Botond, Iván Balázs, Jakus Balázs István, Kormányos Hanna Rebeka, Kovács Péter Tamás, Körmöczi Dávid, Krasznai Anna, Németh Flóra Boróka, Nenezic Patrick Uros, Olosz Adél, Pataki 245 Attila, Sal Kristóf, Szántó Benedek, Tófalusi Ádám. 4 pontot kapott: Ghada Alshalan, Szentivánszki Soma . 3 pontot kapott: 7 versenyző. 2 pontot kapott: 11 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2016. májusi fizika feladatai