 |
A P. 4859. feladat (2016. szeptember) |
P. 4859. Egy bizonyos hosszúságú, egyenes ellenálláshuzalt kis belső ellenállású akkumulátorra kapcsolunk. A vezeték \(\displaystyle 37~^\circ\)C-ra melegszik fel, miközben a környezet \(\displaystyle 27~^\circ\)C-os. Ezután a huzal egyharmadát levágjuk, majd a maradék vezetéket ugyanarra az akkumulátorra kapcsoljuk. Mekkora lesz most a vezeték állandósult hőmérséklete?
Oroszországi versenyfeladat nyomán
(4 pont)
A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a vezeték hosszát \(\displaystyle \ell\)-lel! A vezeték elektromos ellenállása egyenesen arányos \(\displaystyle \ell\)-lel, tehát adott feszültségű áramforrásra kapcsolva a felvett teljesítmény \(\displaystyle \frac1\ell\)-lel arányos.
Tételezzük fel, hogy az ellenálláshuzal a felvett teljesítményt hővezetéssel adja le, a hősugárzás nem számottevő. Ekkor a \(\displaystyle T\) hőmérsékletű test \(\displaystyle T_0\) hőmérsékletű környezetben \(\displaystyle \ell (T-T_0)\)-lal arányos teljesítménnyel ad le hőt. Egyensúlyi állapotban tehát \(\displaystyle \frac1\ell\sim \ell (T-T_0)\), vagyis \(\displaystyle T-T_0\sim \frac{1}{\ell^2}.\) Ha a vezeték hosszát \(\displaystyle \tfrac23\)-ára csökkentjük, a hőmérsékletkülönbség \(\displaystyle \tfrac94\)-szeresére, vagyis 22,5 fokra növekszik. A huzal hőmérséklete ezek szerint \(\displaystyle 49{,}5\,^\circ\)C lesz.
Amennyiben a huzal hővezetéssel nem tud leadni hőt (pl. mert vákuumcsőben helyezkedik el), akkor a \(\displaystyle T^4\)-nel arányos hősugárzás játszik lényeges szerepet. Ebben az esetben a kialakuló \(\displaystyle T'\) hőmérsékletre a következő egyenletet írhatjuk fel:
\(\displaystyle T'^4-T_0^4=\frac94(T^4-T_0^4),\)
ahonnan a \(\displaystyle T_0=310~\)K és \(\displaystyle T=300~\)K adatok mellett \(\displaystyle T'=321~ {\rm K}=48\,^\circ\)C.
A valóságban a hővezetés és a hősugárzás egyaránt szerepet kap, mivel azonban a kétféle (szélsőséges) esetnek megfelelő hőmérsékletek alig térnek el egymástól, állíthatjuk, hogy reális körülmények között is a kialakuló hőmérséklet kb. \(\displaystyle 49\,^\circ\)C lesz.
Statisztika:
83 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Bege Áron, Bekes Nándor, Berzsák Bulcsú, Csenger Géza, Csire Roland, Csuha Boglárka, Di Giovanni András, Édes Lili, Elek Péter, Faisal Fahad AlSallom, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Iván Balázs, Jakus Balázs István, Kolontári Péter, Kormányos Hanna Rebeka, Krasznai Anna, Mácz Andrea, Magyar Máté, Molnár Mátyás, Murányi Albert, Németh 123 Balázs, Osváth Botond, Páhoki Tamás, Pszota Máté, Simon Ákos, Szabó 199 Márton, Tibay Álmos, Tófalusi Ádám, Turcsányi Ádám, Vajay Mónika, Varga-Umbrich Eszter, Zöllner András, Zsombó István. 3 pontot kapott: Bukor Benedek, Kondákor Márk, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Póta Balázs, Szakály Marcell, Szentivánszki Soma , Wolff Vilmos. 2 pontot kapott: 5 versenyző. 1 pontot kapott: 20 versenyző. 0 pontot kapott: 11 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2016. szeptemberi fizika feladatai