 |
A P. 4863. feladat (2016. szeptember) |
P. 4863. Egy 10 cm átmérőjű műanyag gömb felületén az elektromos töltéssűrűség \(\displaystyle 10~\mu{\rm C/m}^2\). A gömböt egyik átmérője körül 10 s\(\displaystyle {}^{-1}\) fordulatszámmal forgatjuk. Határozzuk meg a mágneses indukcióvektor irányát és nagyságát a gömb középpontjában!
Példatári feladat
(6 pont)
A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelöljük a gömb sugarát \(\displaystyle R\)-rel, felületi töltéssűrűségét \(\displaystyle \eta\)-val, fordulatszámát pedig \(\displaystyle f\)-fel! A gömb töltése eszerint \(\displaystyle Q=4R^2\pi\eta\).
Vágjuk fel – gondolatban – a gömböt a forgástengelyére merőlegesen igen keskeny, \(\displaystyle \Delta z\) ,,magasságú'' gömbövekre, amelyeknek esetenként változó sugara \(\displaystyle r\). Egy-egy ilyen gömböv felülete \(\displaystyle 2R\pi\, \Delta z\) (vagyis minden szelet felülete ugyanakkora), a töltése tehát
\(\displaystyle \Delta Q=\frac{2R\pi\, \Delta z}{4R^2\pi}\,Q=\frac{Q}{2R}\,\Delta z.\)
A forgó (\(\displaystyle \Delta t=1/f\) időközönként körbeforduló) gömbövek töltése köráramokat hoz létre, amelyek áramerőssége:
\(\displaystyle \Delta I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=f\Delta Q = \frac{Qf}{2R}\cdot \Delta z.\)
Ezek a köráramok (a Biot–Savart-törvény szerint) a gömb középpontjában a forgástengellyel megegyező irányú,
\(\displaystyle \Delta B=\frac{\mu_0\Delta I}{2}\cdot \frac{r^2}{R^3}\, \Delta z\)
nagyságú mágneses indukciót eredményeznek. Az egész gömb mágneses indukciója a gömb középpontjában:
\(\displaystyle B=\sum \Delta B=\frac{\mu_0 Qf}{4\pi R^4} \cdot \left(\sum r^2\pi\,\Delta z\right). \)
A fenti képlet jobb oldalán a zárójelben álló szumma éppen a gömb \(\displaystyle \tfrac43 R^3\pi\) térfogata, így a keresett mágneses indukció:
\(\displaystyle B= \mu_0 f \frac{ 4R^2\pi\eta }{4\pi R^4} \,\frac{4R^3\pi}{3}=\frac{4\pi}{3 } \mu_0\eta R f= \)
\(\displaystyle =\frac{4\pi}{3 }\cdot (1{,}26\cdot 10^{-6})\cdot(10\cdot10^{-6})\cdot0{,}05 \cdot10~\text{(SI egység)} =2{,6}\cdot 10^{-11}~{\rm T}, \)
meglehetősen kicsi érték. (Összehasonlításként a Föld mágneses indukciója \(\displaystyle 10^{-5}~\)T nagyságrendű.)
Statisztika:
32 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Csenger Géza, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Jakus Balázs István, Kormányos Hanna Rebeka, Marozsák Tóbiás , Mocskonyi Mirkó, Nagy 555 Botond, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Szentivánszki Soma , Zöllner András. 5 pontot kapott: Faisal Fahad AlSallom, Iván Balázs, Németh 123 Balázs, Riskutia Balázs, Szakály Marcell, Tófalusi Ádám, Varga-Umbrich Eszter. 4 pontot kapott: 1 versenyző. 3 pontot kapott: 4 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2016. szeptemberi fizika feladatai