A P. 4863. feladat (2016. szeptember)

P. 4863. Egy 10 cm átmérőjű műanyag gömb felületén az elektromos töltéssűrűség $\displaystyle 10~\mu{\rm C/m}^2$. A gömböt egyik átmérője körül 10 s$\displaystyle {}^{-1}$ fordulatszámmal forgatjuk. Határozzuk meg a mágneses indukcióvektor irányát és nagyságát a gömb középpontjában!

Példatári feladat

(6 pont)

A beküldési határidő 2016. október 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a gömb sugarát $\displaystyle R$-rel, felületi töltéssűrűségét $\displaystyle \eta$-val, fordulatszámát pedig $\displaystyle f$-fel! A gömb töltése eszerint $\displaystyle Q=4R^2\pi\eta$.

Vágjuk fel – gondolatban – a gömböt a forgástengelyére merőlegesen igen keskeny, $\displaystyle \Delta z$ ,,magasságú'' gömbövekre, amelyeknek esetenként változó sugara $\displaystyle r$. Egy-egy ilyen gömböv felülete $\displaystyle 2R\pi\, \Delta z$ (vagyis minden szelet felülete ugyanakkora), a töltése tehát

$\displaystyle \Delta Q=\frac{2R\pi\, \Delta z}{4R^2\pi}\,Q=\frac{Q}{2R}\,\Delta z.$

A forgó ($\displaystyle \Delta t=1/f$ időközönként körbeforduló) gömbövek töltése köráramokat hoz létre, amelyek áramerőssége:

$\displaystyle \Delta I=\frac{\Delta Q}{\Delta t}=f\Delta Q = \frac{Qf}{2R}\cdot \Delta z.$

Ezek a köráramok (a Biot–Savart-törvény szerint) a gömb középpontjában a forgástengellyel megegyező irányú,

$\displaystyle \Delta B=\frac{\mu_0\Delta I}{2}\cdot \frac{r^2}{R^3}\, \Delta z$

nagyságú mágneses indukciót eredményeznek. Az egész gömb mágneses indukciója a gömb középpontjában:

$\displaystyle B=\sum \Delta B=\frac{\mu_0 Qf}{4\pi R^4} \cdot \left(\sum r^2\pi\,\Delta z\right).$

A fenti képlet jobb oldalán a zárójelben álló szumma éppen a gömb $\displaystyle \tfrac43 R^3\pi$ térfogata, így a keresett mágneses indukció:

$\displaystyle B= \mu_0 f \frac{ 4R^2\pi\eta }{4\pi R^4} \,\frac{4R^3\pi}{3}=\frac{4\pi}{3 } \mu_0\eta R f=$

$\displaystyle =\frac{4\pi}{3 }\cdot (1{,}26\cdot 10^{-6})\cdot(10\cdot10^{-6})\cdot0{,}05 \cdot10~\text{(SI egység)} =2{,6}\cdot 10^{-11}~{\rm T},$

meglehetősen kicsi érték. (Összehasonlításként a Föld mágneses indukciója $\displaystyle 10^{-5}~$T nagyságrendű.)

Statisztika:

32 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Csenger Géza, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Jakus Balázs István, Kormányos Hanna Rebeka, Marozsák Tóbiás , Mocskonyi Mirkó, Nagy 555 Botond, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Szentivánszki Soma , Zöllner András.
5 pontot kapott:	Faisal Fahad AlSallom, Iván Balázs, Németh 123 Balázs, Riskutia Balázs, Szakály Marcell, Tófalusi Ádám, Varga-Umbrich Eszter.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2016. szeptemberi fizika feladatai