A P. 4867. feladat (2016. október)

P. 4867. Két, azonos irányban haladó test tökéletesen rugalmatlanul ütközik. Az egyik test tömege a másik test tömegének \(\displaystyle n\)-szerese, sebessége pedig a másik sebességének \(\displaystyle n\)-ed része (\(\displaystyle n\ge2\), egész). Mekkora \(\displaystyle n\) esetén vész el az összes mozgási energiának legalább a fele?

Közli: Tornyos Tivadar Eörs, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az egyik test tömege \(\displaystyle m\), sebessége \(\displaystyle v\), a másik tömege \(\displaystyle nm\), sebessége \(\displaystyle v/n\). A két test ütközés előtti összes mozgási energiája

\(\displaystyle E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}(nm) \left(\frac{v}n\right)^2=\frac{1}{2}mv^2\,\frac{1+n}{n},\)

az összimpulzusuk pedig \(\displaystyle I=2mv\).

Az ütközés utáni közös sebességük

\(\displaystyle v'=\frac{I}{m+nm}=\frac{2}{1+n}v,\)

az összes mozgási energiájuk tehát

\(\displaystyle E'=\frac{1}{2}(m+nm)v'^2=\frac{1}{2}mv^2\,\frac{4}{1+n}.\)

A megadott \(\displaystyle E'\le \frac{1}{2}E\) feltétel akkor teljesül, ha

\(\displaystyle \frac{4}{1+n}\le \frac{1+n}{2n},\qquad \text {azaz}\qquad n^2-6n+1\ge 0.\)

Ezen másodfokú egyenlőtlenség megoldása (az \(\displaystyle n\ge2\) és egész feltételt is figyelembe véve): \(\displaystyle n\ge 6.\)

Statisztika:

118 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	83 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2016. októberi fizika feladatai