A P. 4867. feladat (2016. október)

P. 4867. Két, azonos irányban haladó test tökéletesen rugalmatlanul ütközik. Az egyik test tömege a másik test tömegének $\displaystyle n$-szerese, sebessége pedig a másik sebességének $\displaystyle n$-ed része ($\displaystyle n\ge2$, egész). Mekkora $\displaystyle n$ esetén vész el az összes mozgási energiának legalább a fele?

Közli: Tornyos Tivadar Eörs, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen az egyik test tömege $\displaystyle m$, sebessége $\displaystyle v$, a másik tömege $\displaystyle nm$, sebessége $\displaystyle v/n$. A két test ütközés előtti összes mozgási energiája

$\displaystyle E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}(nm) \left(\frac{v}n\right)^2=\frac{1}{2}mv^2\,\frac{1+n}{n},$

az összimpulzusuk pedig $\displaystyle I=2mv$.

Az ütközés utáni közös sebességük

$\displaystyle v'=\frac{I}{m+nm}=\frac{2}{1+n}v,$

az összes mozgási energiájuk tehát

$\displaystyle E'=\frac{1}{2}(m+nm)v'^2=\frac{1}{2}mv^2\,\frac{4}{1+n}.$

A megadott $\displaystyle E'\le \frac{1}{2}E$ feltétel akkor teljesül, ha

$\displaystyle \frac{4}{1+n}\le \frac{1+n}{2n},\qquad \text {azaz}\qquad n^2-6n+1\ge 0.$

Ezen másodfokú egyenlőtlenség megoldása (az $\displaystyle n\ge2$ és egész feltételt is figyelembe véve): $\displaystyle n\ge 6.$

Statisztika:

118 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	83 versenyző.
3 pontot kapott:	19 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2016. októberi fizika feladatai