 |
A P. 4873. feladat (2016. október) |
P. 4873. Egy kerékpár generátorára (amelyet sokszor tévesen ,,dinamónak'' neveznek) egy állandó értékű ohmos ellenállást kapcsoltunk. Megmértük, hogy a generátor állandó \(\displaystyle n\), illetve \(\displaystyle 2n\) fordulatszámmal való forgatásához átlagosan \(\displaystyle M_1\), illetve \(\displaystyle 1{,}8\,M_1\) forgatónyomaték szükséges. Mekkora forgatónyomatékot kell kifejtenünk \(\displaystyle 3n\) fordulatszám mellett? A generátor mechanikai veszteségei elhanyagolhatók. (Lásd még a témával kapcsolatos cikket a 435. oldalon.)
Közli: Bilicz Sándor, Budapest
(6 pont)
A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A kerékpár generátora az \(\displaystyle f\) fordulatszámmal arányos \(\displaystyle U\) váltófeszültséget hoz létre. A generátor tekercsének induktív ellenállása ugyancsak \(\displaystyle f\)-fel arányos, a vele sorbakapcsolt állandó ohmos ellenállással együtt a teljes áramkör impedanciája \(\displaystyle Z=\sqrt{c_1 f^2+c_2}\) alakban írható fel, ahol \(\displaystyle c_1\) és \(\displaystyle c_2\) állandók. Az áramkör áramerőssége \(\displaystyle I=U/Z\), az ohmos ellenálláson leadott teljesítmény \(\displaystyle I^2\)-tel arányos, tehát
\(\displaystyle P=\frac{f^2}{k_1 f^2+k_2}\)
alakú, ahol \(\displaystyle k_1\) és \(\displaystyle k_2\) állandók. Másrészt a leadott teljesítmény az \(\displaystyle f\) fordulatszám és a forgatáshoz szükséges \(\displaystyle M\) forgatónyomaték szorzataként is felírható (\(\displaystyle P=fM\)), ahonnan
\(\displaystyle M=\frac{f}{k_1 f^2+k_2}.\)
Írjuk fel ezt az összefüggést a feladatban szereplő \(\displaystyle f=n\), \(\displaystyle f=2n\) és \(\displaystyle f=3n\) fordulatszámokra:
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle M_1=\frac{n}{k_1 n^2+k_2},\) |
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle M_2=1{,}8M_1=\frac{2n}{4k_1 n^2+k_2},\) |
valamint
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle M_3=\frac{3n}{9k_1 n^2+k_2}.\) |
Az (1) és (2) összefüggésből \(\displaystyle k_2=26k_1n^2\), a (3) és (1) hányadosából pedig
\(\displaystyle M_3=\frac{81}{35}M_1\approx 2{,}3\,M_1\)
adódik.
Megjegyzések. 1. A fordulatszám növelésével a szükséges forgatónyomaték egy ideig növekszik, majd csökken. Általában \(\displaystyle N\cdot n\) fordulatszám \(\displaystyle M_N\) nyomatékára fennáll, hogy
\(\displaystyle \frac{M_N}{M_1}=\frac{27\,N}{N^2+26},\)
és ez a kifejezés \(\displaystyle N=\sqrt{26}\) esetén, az egész \(\displaystyle N\)-ek között pedig \(\displaystyle N=5\)-nél a legnagyobb.
2. A kerékpárok generátorának hasznos tulajdonsága, hogy a leadott teljesítmény nagy sebesség (nagy fordulatszám) mellett sem növekszik korlátlanul, hanem (a tekercs induktivitásának növekedése miatt) véges értékű marad. Ha ez nem lenne így, a lámpa izzója könnyen kiéghetne.
Statisztika:
18 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Bekes Nándor, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Nagy 555 Botond, Németh 777 Róbert, Olosz Adél. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 11 versenyző.
A KöMaL 2016. októberi fizika feladatai