A P. 4873. feladat (2016. október)

P. 4873. Egy kerékpár generátorára (amelyet sokszor tévesen ,,dinamónak'' neveznek) egy állandó értékű ohmos ellenállást kapcsoltunk. Megmértük, hogy a generátor állandó $\displaystyle n$, illetve $\displaystyle 2n$ fordulatszámmal való forgatásához átlagosan $\displaystyle M_1$, illetve $\displaystyle 1{,}8\,M_1$ forgatónyomaték szükséges. Mekkora forgatónyomatékot kell kifejtenünk $\displaystyle 3n$ fordulatszám mellett? A generátor mechanikai veszteségei elhanyagolhatók. (Lásd még a témával kapcsolatos cikket a 435. oldalon.)

Közli: Bilicz Sándor, Budapest

(6 pont)

A beküldési határidő 2016. november 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A kerékpár generátora az $\displaystyle f$ fordulatszámmal arányos $\displaystyle U$ váltófeszültséget hoz létre. A generátor tekercsének induktív ellenállása ugyancsak $\displaystyle f$-fel arányos, a vele sorbakapcsolt állandó ohmos ellenállással együtt a teljes áramkör impedanciája $\displaystyle Z=\sqrt{c_1 f^2+c_2}$ alakban írható fel, ahol $\displaystyle c_1$ és $\displaystyle c_2$ állandók. Az áramkör áramerőssége $\displaystyle I=U/Z$, az ohmos ellenálláson leadott teljesítmény $\displaystyle I^2$-tel arányos, tehát

$\displaystyle P=\frac{f^2}{k_1 f^2+k_2}$

alakú, ahol $\displaystyle k_1$ és $\displaystyle k_2$ állandók. Másrészt a leadott teljesítmény az $\displaystyle f$ fordulatszám és a forgatáshoz szükséges $\displaystyle M$ forgatónyomaték szorzataként is felírható ($\displaystyle P=fM$), ahonnan

$\displaystyle M=\frac{f}{k_1 f^2+k_2}.$

Írjuk fel ezt az összefüggést a feladatban szereplő $\displaystyle f=n$, $\displaystyle f=2n$ és $\displaystyle f=3n$ fordulatszámokra:

valamint

Az (1) és (2) összefüggésből $\displaystyle k_2=26k_1n^2$, a (3) és (1) hányadosából pedig

$\displaystyle M_3=\frac{81}{35}M_1\approx 2{,}3\,M_1$

adódik.

Megjegyzések. 1. A fordulatszám növelésével a szükséges forgatónyomaték egy ideig növekszik, majd csökken. Általában $\displaystyle N\cdot n$ fordulatszám $\displaystyle M_N$ nyomatékára fennáll, hogy

$\displaystyle \frac{M_N}{M_1}=\frac{27\,N}{N^2+26},$

és ez a kifejezés $\displaystyle N=\sqrt{26}$ esetén, az egész $\displaystyle N$-ek között pedig $\displaystyle N=5$-nél a legnagyobb.

2. A kerékpárok generátorának hasznos tulajdonsága, hogy a leadott teljesítmény nagy sebesség (nagy fordulatszám) mellett sem növekszik korlátlanul, hanem (a tekercs induktivitásának növekedése miatt) véges értékű marad. Ha ez nem lenne így, a lámpa izzója könnyen kiéghetne.

Statisztika:

18 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Bekes Nándor, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Nagy 555 Botond, Németh 777 Róbert, Olosz Adél.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.

A KöMaL 2016. októberi fizika feladatai