 |
A P. 4897. feladat (2017. január) |
P. 4897. Függőlegesen álló, felül nyitott, henger alakú edényből az alul lévő csapon keresztül folyik ki a víz. Hogyan változik a víz felszínének süllyedési sebessége? Ha \(\displaystyle T\) idő alatt folyik ki a víz fele az edényből, mennyi idő alatt ürül ki teljesen az edény?
Példatári feladat nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A csapból kiáramló víz sebessége a Torricelli-féle kiömlési törvény szerint a vízszint \(\displaystyle h\) magasságának négyzetgyökével arányos: \(\displaystyle v_\text{csap}=\sqrt{2gh}\). A folyadék felszínének süllyedési sebessége a kifolyási sebességgel arányos (az arányossági tényező a csap keresztmetszetének és az edény keresztmetszetének hányadosa). Tehát a vízszint \(\displaystyle h\) magassága és annak csökkenési sebessége közötti kapcsolat így írható fel:
\(\displaystyle v(h)=-\sqrt{2ah},\)
ahol \(\displaystyle a\) egy (a nehézségi gyorsulástól és a geometriai adatoktól függő) állandó. (A negatív előjel azt fejezi ki, hogy \(\displaystyle h\) csökken.) Ez az összefüggés megegyezik egy állandó \(\displaystyle a\) gyorsulással mozgó test sebesség-út képletével, tehát az út-idő összefüggés is az egyenletesen gyorsuló mozgás képletével adható meg:
\(\displaystyle h(t)=H-v_0 t+\frac{a}{2}t^2, \)
ahol \(\displaystyle H\) a kezdeti vízmagasság, \(\displaystyle v_0=\sqrt{2aH}\) pedig a vízszint kezdeti süllyedési sebessége. Eszerint
\(\displaystyle h(t)=H-\sqrt{2aH}t+\frac{a}{2}t^2\equiv\frac{a}{2}\left(\sqrt{\frac{2H}{a}}-t\right)^2.\)
Mivel \(\displaystyle T\) idő alatt a vízmennyiség fele folyik ki:
\(\displaystyle \frac{H}{2}=\frac{a}{2}\left(\sqrt{\frac{2H}{a}}-T\right)^2,\)
ahonnan
\(\displaystyle \sqrt{\frac{H}{a}}=\frac{T}{ \sqrt{2}-1}.\)
A teljes kiürülés idejét a \(\displaystyle h=0\) feltétel határozza meg:
\(\displaystyle T_\text{kiürül}=\sqrt{\frac{2H}{a}}=\sqrt{2}\frac{T}{ \sqrt{2}-1}=\left(2+\sqrt{2}\right)\,T\approx 3{,}41\, T.\)
Statisztika:
41 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bekes Nándor, Csire Roland, Csuha Boglárka, Debreczeni Tibor, Édes Lili, Elek Péter, Faisal Fahad AlSallom, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Ghada Alshalan, Illyés András, Jakus Balázs István, Klučka Vivien, Krasznai Anna, Makovsky Mihály, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Osváth Botond, Páhoki Tamás, Pszota Máté, Sal Dávid, Szakály Marcell, Szentivánszki Soma , Takács Attila, Tófalusi Ádám, Varga-Umbrich Eszter, Zöllner András, Zsombó István. 4 pontot kapott: Markó Gábor, Nenezic Patrick Uros, Ónodi Gergely. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2017. januári fizika feladatai