A P. 4898. feladat (2017. január)

P. 4898. Az ábrán látható U-alakú cső szárai függőlegesek. A jobb oldali szára zárt, a bal oldalit mozgatható dugattyú zárja le. Kezdetben a csőben azonos magasságig higany van, felette mindkét oldalon $\displaystyle h$ magasságú, légköri nyomású levegőoszlop helyezkedik el. Mennyit mozdulnak el a higanyszintek, ha a dugattyút lassan $\displaystyle h/2$ hosszúsággal lejjebb toljuk?

Adatok: $\displaystyle h=30$ cm, és a légköri nyomás $\displaystyle H\eg 76$ cm magas higanyoszlop nyomásával egyezik meg.

Közli: Légrádi Imre, Sopron

(4 pont)

A beküldési határidő 2017. február 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A dugattyú lassú lenyomása miatt mindkét oldalon izotermikusan változik meg a levegő állapota. A Boyle–Mariotte-törvény szerint

$\displaystyle Ahp_0=A\left(\frac{h}{2}+x\right)p_1,$

$\displaystyle Ahp_0=A\left(h-x\right)p_2,$

ahol $\displaystyle A$ a cső belső keresztmetszetének területe, $\displaystyle x$ a higanyszintek elmozdulása, $\displaystyle p_1$ és $\displaystyle p_2$ a megváltozott gáznyomások, $\displaystyle p_0=\varrho gH$ a külső légnyomás.

A két oldalon lévő gáznyomások különbsége $\displaystyle 2x$ magas higanyoszlop nyomásával egyezik meg:

$\displaystyle p_1-p_2=2x\varrho g.$

Ezekből az egyenletekből

$\displaystyle Hh\left(\frac{h}{2}-2x\right)=2x(h-x)\left(\frac{h}{2}+x\right)$

következik, ami a megadott számadatokkal ($\displaystyle x$-et centiméterekben mérve) így írható:

$\displaystyle x^3-15x^2-2730x+17\,100=0.$

Az egyenletnek három valós gyöke van:

$\displaystyle x_1\approx -48{,}5; \quad x_2\approx 6{,}1; \quad x_3\approx 57{,}4,$

ezek közül csak $\displaystyle x_2$ felel meg a feladat követelményeinek.

A higanyszintek tehát 6,1 cm-t mozdulnak el a dugattyú lassú lenyomásának következtében; természetesen a dugattyú alatt lefelé, a másik szárban pedig felfelé.

Statisztika:

63 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Balaskó Dominik, Bartók Imre, Bukor Benedek, Debreczeni Tibor, Édes Lili, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Jánosik Áron, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Kovács 526 Tamás, Makovsky Mihály, Merkl Gergely, Murányi Albert, Németh 123 Balázs, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Pataki 245 Attila, Póta Balázs, Pszota Máté, Sal Dávid, Tófalusi Ádám.
3 pontot kapott:	Bekes Nándor, Fajszi Bulcsú, Fazakas Réka, Guba Zoltán, Hajnal Dániel Konrád, Illyés András, Kántor Bence, Kavas Katalin, Klučka Vivien, Magyar Róbert Attila, Makai Enikő, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Nagy 555 Botond, Ónodi Gergely, Papp 121 Krisztina, Szentivánszki Soma , Tibay Álmos, Varga-Umbrich Eszter, Weisz Máté, Zöllner András.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2017. januári fizika feladatai