 |
A P. 4912. feladat (2017. február) |
P. 4912. Egy hajlékony, súlyos, \(\displaystyle L\) hosszúságú kötél egyik végét a mennyezethez rögzítettük, a másik vége szabadon lóg. A kötelet a felfüggesztési pont alatt vízszintesen megütjük. Mennyi idő alatt éri el a kötél alsó végét a felfüggesztési pont közeléből indított transzverzális jel?
Közli: Vigh Máté, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. március 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha a kötél tömege hosszegységenként \(\displaystyle \lambda\), akkor az aljától számított \(\displaystyle x\) távolságban a kötelet feszítő erő \(\displaystyle F=x\lambda g\). A transzverzális hullámok (jelek) terjedési sebessége
\(\displaystyle v(x)=\sqrt{\frac{F}{\lambda}}=\sqrt{xg}.\)
Összehasonlítva ezt a képletet az egyenletesen gyorsuló mozgás \(\displaystyle v(x)=\sqrt{2ax}\) sebesség-út függvényével megállapíthatjuk, hogy a kötélen a jel \(\displaystyle a=g/2\) lassulással mozog (az előjelkülönbség onnan származik, hogy a kötélen az \(\displaystyle x\) távolságot felfelé, a sebességet pedig lefelé mértük. Eszerint a jel az \(\displaystyle L\) utat
\(\displaystyle T=\sqrt{\frac{2L}{a}}=2\sqrt{\frac{L}{g}}\)
idő alatt teszi meg.
Megjegyzés. A gyorsulást a \(\displaystyle v(x)^2=xg\) összefüggés idő szerinti deriválásából is megkaphatjuk:
\(\displaystyle \frac{{\rm d}(v^2)}{{\rm d}t}=\frac{{\rm d}(v^2)}{{\rm d}v}\cdot \frac{{\rm d}v}{{\rm d}t}= 2va=\frac{{\rm d}x(t)}{{\rm d}t}g= vg,\qquad \text{vagyis}\qquad a=\frac{1}{2}g=\text{állandó}.\)
Statisztika:
31 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Ardai István Tamás, Bartók Imre, Bekes Nándor, Csire Roland, Csuha Boglárka, Di Giovanni András, Elek Péter, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Jakus Balázs István, Krasznai Anna, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Nenezic Patrick Uros, Osváth Botond, Pszota Máté, Sal Dávid, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám, Varga-Umbrich Eszter, Zöllner András. 4 pontot kapott: Olosz Adél, Páhoki Tamás, Szakály Marcell. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2017. februári fizika feladatai