 |
A P. 4923. feladat (2017. március) |
P. 4923. Egy 0,250 m sugarú, szigetelt fémkorong percenként 1000-es fordulatszámmal forog. Határozzuk meg a korong közepe és széle közötti potenciálkülönbséget
\(\displaystyle a)\) külső mágneses tér hiányában;
\(\displaystyle b)\) 10,0 mT nagyságú, a korongra merőleges irányú, homogén mágneses tér esetén!
Példatári feladat nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) A korong szögsebessége
\(\displaystyle \omega=2\pi f=2\pi\,\frac{1000}{60~\rm s}=104{,}7~\rm s^{-1}.\)
A korong középpontjától \(\displaystyle r\) távolságban lévő anyagdarabkák \(\displaystyle v(r)=r\omega\) kerületi sebességgel mozognak.
\(\displaystyle a)\) A forgó fémkorong anyagában az \(\displaystyle m\) tömegű, \(\displaystyle -e\) töltésű elektronok szabadon el tudnak mozdulni a koronghoz képest. Ha ezt (a stacionárius töltéseloszlás kialakulása után) mégsem teszik, azért van, mert a kialakuló (sugár irányban kifelé mutató) és \(\displaystyle E(r)\) nagyságú elektromos tér éppen biztosítani tudja az elektronok körmozgásához szükséges centripetális erőt:
\(\displaystyle eE=mr\omega^2,\)
vagyis
\(\displaystyle E(r)=\frac{m}{e}\omega^2\cdot r.\)
A helyről helyre változó \(\displaystyle r\) sugár átlagosan \(\displaystyle R/2\)-nek vehető (\(\displaystyle R\) a korong sugara), és így a kialakuló feszültség:
\(\displaystyle U=E_\text{átlag}R=\frac{mR^2\omega^2}{2e}=2~\rm nV.\)
\(\displaystyle b)\) A mágneses térben mozgó elektronokra ható Lorentz-erő (a forgásiránytól és a mágneses tér irányától függően vagy a korong pereme felé, vagy pedig a korong középpontjának irányában) elmozdítja a fém elektronjait, és ez a töltésátrendeződés mindaddig tart, amíg ki nem alakul egy olyan \(\displaystyle E(r)\) elektromos tér, amely éppen kiegyenlíti a Lorentz-erő hatását. (Feltételezzük, hogy ez az erő sokkal nagyobb, mint a centripetális erő, így az utóbbit nem vesszük figyelembe.)
\(\displaystyle eE(r)=er\omega B,\qquad \text{vagyis}\qquad E(r)=B\omega\cdot r.\)
Az \(\displaystyle r\) sugarat itt is az átlagos \(\displaystyle R/2\) értékkel helyettesíthetjük, és a kialakuló feszültség:
\(\displaystyle U=E_\text{átlag}R=\frac{1}{2}R^2\omega B=33~\rm mV.\)
(Ez az érték sokkal nagyobb, mint a mágneses tér nélküli, pusztán az elektronok tömegéből adódó járulék, tehát a második esetben jogosan hanyagoltuk el a Lorentz-erő mellett a centripetális erőt.)
Statisztika:
22 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bartók Imre, Bekes Nándor, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Jakus Balázs István, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Páhoki Tamás, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám, Varga-Umbrich Eszter. 4 pontot kapott: Di Giovanni András, Elek Péter, Illés Gergely, Nenezic Patrick Uros. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2017. márciusi fizika feladatai