A P. 4928. feladat (2017. április)

P. 4928. \(\displaystyle a)\) Mekkora gyorsulással indulnak meg az ábrán látható, könnnyen gördülő kiskocsik, ha a csiga tömege és a légellenállás elhanyagolható? Adatok: \(\displaystyle m_1=1\) kg, \(\displaystyle m_2=2\) kg, \(\displaystyle M=5\) kg.

\(\displaystyle b)\) Milyen határok közé eshet az \(\displaystyle M\) tömegű kiskocsi kezdeti gyorsulása más tömegadatok mellett?

Közli: Németh László, Fonyód

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a testekre ható erőket és a testek gyorsulását az ábrán látható módon! (Az \(\displaystyle m_2\) tömegű kiskocsi a \(\displaystyle M\) tömegű kocsikoz képest \(\displaystyle a\), a talajhoz képest tehát \(\displaystyle a-A\) gyorsulással mozog.)

A mozgásegyenletek:

\(\displaystyle m_1g-K=m_1a,\)

\(\displaystyle K-F=MA,\)

\(\displaystyle K=m_2(a-A),\)

\(\displaystyle F=m_1A.\)

Az egyenletrendszer megoldása:

\(\displaystyle A=\frac{m_1m_2}{m_1\left(m_1+m_2+M\right)+m_2\left(m_1+M\right) }\,g,\)

\(\displaystyle a=\frac{m_1\left(m_1+m_2+M\right) }{m_1\left(m_1+m_2+M\right)+m_2\left(m_1+M\right) }\,g.\)

\(\displaystyle a)\) A megadott tömegek esetén

\(\displaystyle A=\frac{1}{10}g=0{,}98~\frac{\rm m}{\rm s^2}\approx 1{,}0 ~\frac{\rm m}{\rm s^2},\)

\(\displaystyle a=\frac{2}{5}g=3{,}92~\frac{\rm m}{\rm s^2}\approx 4{,}0 ~\frac{\rm m}{\rm s^2},\)

\(\displaystyle a-A=\frac{3}{10}g=2{,}94~\frac{\rm m}{\rm s^2}\approx 3{,}0 ~\frac{\rm m}{\rm s^2}.\)

\(\displaystyle b)\) Az \(\displaystyle M\) tömegű kiskocsi gyorsulása így is felírható:

\(\displaystyle A=\frac{g}{2+\frac{m_1}{m_2}+\frac{M}{m_1}+\frac{M}{m_2}}.\)

Látható, hogy

\(\displaystyle 0<A<\frac{g}{2} .\)

Az \(\displaystyle A\approx \tfrac12 g\) felső korlát akkor közelíthető meg, ha \(\displaystyle M\ll m_1 \ll m_2\). Ebben a határesetben \(\displaystyle F\approx K\approx \frac{1}{2}m_2g\) és \(\displaystyle a\approx A\).

Statisztika:

39 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bekes Nándor, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Magyar Róbert Attila, Mamuzsics Gergő Bence, Marozsák Tóbiás , Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Pécsi 117 Ildikó, Póta Balázs, Sal Dávid, Varga-Umbrich Eszter.
4 pontot kapott:	Berke Martin, Illés Gergely.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	19 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2017. áprilisi fizika feladatai