 |
A P. 4935. feladat (2017. április) |
P. 4935. Egy fotonnak és egy elektronnak azonos a hullámhossza. Melyiknek nagyobb a mozgási energiája?
Közli: Honyek Gyula, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Egy \(\displaystyle \lambda\) hullámhosszúságú foton impulzusa \(\displaystyle p=\frac{h}{\lambda}\). Ugyanekkora az impulzusa egy elektronnak is, ha a de Broglie-hullámhossza \(\displaystyle \lambda\).
Az elektron energiája (a klasszikus fizika szerint)
\(\displaystyle E_{\rm e}=\frac{1}{2}mv^2=\frac{p^2}{2m}.\)
A foton energiája
\(\displaystyle E_{\rm f}=pc.\)
A két energia hányadosa:
\(\displaystyle \frac{E_{\rm e}}{ {E_{\rm f}}}=\frac{p}{2{mc}}= \frac{h}{mc}\,\frac{1}{2\lambda}.\)
Amennyiben \(\displaystyle \lambda \gg \frac{h}{mc}=2{,}4\cdot 10^{-12}\) m, akkor nyilván \(\displaystyle E_{\rm e}<E_{\rm f}\). A foton energiája tehát lehet nagyobb, mint az elektron mozgási menergiája. Látszólag a fordított eset is előfordulhat, de ez hibás következtetés!
Ha
\(\displaystyle \lambda \ll \frac{h}{mc},\)
akkor az elektron impulzusa \(\displaystyle p\gg mc\), vagyis \(\displaystyle p/m\gg c\). Ilyenkor nyilván érvényét veszti a klasszikus \(\displaystyle p=mv\) összefüggés, hiszen az \(\displaystyle c\)-nél sokkal nagyobb sebességhez vezetne.
Általános esetben az elektron mozgási energiáját az
\(\displaystyle E_{\rm e}=\sqrt{ m^2c^4+p^2c^2}-mc^2\)
relativisztikus képlet alapján számíthatjuk ki.
Ez kis sebességekre, vagyis \(\displaystyle p\ll mc\) esetre visszaadja a klasszikus képletet, a fenti összefüggés tehát a nemrelativisztikus tartományban is érvényes. A foton energiája természetesen csak relativisztikusan számolható: \(\displaystyle E_{\rm f}=pc\). Megmutatjuk, hogy azonos hullámhosszúságú elektron és foton esetében a foton energiája mindig nagyobb, mint az elektron mozgási energiája, vagyis
\(\displaystyle \sqrt{ m^2c^4+p^2c^2}-mc^2<pc.\)
Valóban, átrendezés és négyzetre emelés után
\(\displaystyle m^2c^4+p^2c^2 < \left(mc^2+pc\right)^2=m^2c^4+p^2c^2+2mpc^3,\)
azaz \(\displaystyle 0<2mpc^3,\) és ez nyilván teljesül.
Megjegyzés. A \(\displaystyle \frac{h}{mc}\) mennyiséget az elektron Compton-hullámhosszának nevezik. Ez az a térbeli távolság, aminél kisebb méretek (kvantumelméleti tárgyalásban ennél kisebb hullámhossz) esetén az elektron mozgása csak relativisztikusan írható le. Ha egy elektront a Compton-hullámhossznál kisebb méretekre próbálunk ,,összenyomni'', akkor az (a Heisenberg-féle határozatlansági reláció szerint) már elegendő energiával rendelkezne ahhoz, hogy elektron-pozitron párok képződjenek, tehát ebben a mérettartományban a részecskék száma már nem marad állandó.
Statisztika:
44 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bartók Imre, Bekes Nándor, Csire Roland, Csuha Boglárka, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Guba Zoltán, Illés Gergely, Krasznai Anna, Marozsák Tóbiás , Molnár Mátyás, Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Pszota Máté, Tófalusi Ádám. 4 pontot kapott: Jakus Balázs István. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 12 versenyző. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2017. áprilisi fizika feladatai