A P. 4935. feladat (2017. április)

P. 4935. Egy fotonnak és egy elektronnak azonos a hullámhossza. Melyiknek nagyobb a mozgási energiája?

Közli: Honyek Gyula, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy $\displaystyle \lambda$ hullámhosszúságú foton impulzusa $\displaystyle p=\frac{h}{\lambda}$. Ugyanekkora az impulzusa egy elektronnak is, ha a de Broglie-hullámhossza $\displaystyle \lambda$.

Az elektron energiája (a klasszikus fizika szerint)

$\displaystyle E_{\rm e}=\frac{1}{2}mv^2=\frac{p^2}{2m}.$

A foton energiája

$\displaystyle E_{\rm f}=pc.$

A két energia hányadosa:

$\displaystyle \frac{E_{\rm e}}{ {E_{\rm f}}}=\frac{p}{2{mc}}= \frac{h}{mc}\,\frac{1}{2\lambda}.$

Amennyiben $\displaystyle \lambda \gg \frac{h}{mc}=2{,}4\cdot 10^{-12}$ m, akkor nyilván $\displaystyle E_{\rm e}<E_{\rm f}$. A foton energiája tehát lehet nagyobb, mint az elektron mozgási menergiája. Látszólag a fordított eset is előfordulhat, de ez hibás következtetés!

Ha

$\displaystyle \lambda \ll \frac{h}{mc},$

akkor az elektron impulzusa $\displaystyle p\gg mc$, vagyis $\displaystyle p/m\gg c$. Ilyenkor nyilván érvényét veszti a klasszikus $\displaystyle p=mv$ összefüggés, hiszen az $\displaystyle c$-nél sokkal nagyobb sebességhez vezetne.

Általános esetben az elektron mozgási energiáját az

$\displaystyle E_{\rm e}=\sqrt{ m^2c^4+p^2c^2}-mc^2$

relativisztikus képlet alapján számíthatjuk ki.

Ez kis sebességekre, vagyis $\displaystyle p\ll mc$ esetre visszaadja a klasszikus képletet, a fenti összefüggés tehát a nemrelativisztikus tartományban is érvényes. A foton energiája természetesen csak relativisztikusan számolható: $\displaystyle E_{\rm f}=pc$. Megmutatjuk, hogy azonos hullámhosszúságú elektron és foton esetében a foton energiája mindig nagyobb, mint az elektron mozgási energiája, vagyis

$\displaystyle \sqrt{ m^2c^4+p^2c^2}-mc^2<pc.$

Valóban, átrendezés és négyzetre emelés után

$\displaystyle m^2c^4+p^2c^2 < \left(mc^2+pc\right)^2=m^2c^4+p^2c^2+2mpc^3,$

azaz $\displaystyle 0<2mpc^3,$ és ez nyilván teljesül.

Megjegyzés. A $\displaystyle \frac{h}{mc}$ mennyiséget az elektron Compton-hullámhosszának nevezik. Ez az a térbeli távolság, aminél kisebb méretek (kvantumelméleti tárgyalásban ennél kisebb hullámhossz) esetén az elektron mozgása csak relativisztikusan írható le. Ha egy elektront a Compton-hullámhossznál kisebb méretekre próbálunk ,,összenyomni'', akkor az (a Heisenberg-féle határozatlansági reláció szerint) már elegendő energiával rendelkezne ahhoz, hogy elektron-pozitron párok képződjenek, tehát ebben a mérettartományban a részecskék száma már nem marad állandó.

Statisztika:

44 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bartók Imre, Bekes Nándor, Csire Roland, Csuha Boglárka, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Guba Zoltán, Illés Gergely, Krasznai Anna, Marozsák Tóbiás , Molnár Mátyás, Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Páhoki Tamás, Pszota Máté, Tófalusi Ádám.
4 pontot kapott:	Jakus Balázs István.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2017. áprilisi fizika feladatai