 |
A P. 4946. feladat (2017. május) |
P. 4946. Egy \(\displaystyle m\) tömegű kiskocsi szabadon mozoghat egy szintén \(\displaystyle m\) tömegű doboz belsejében. A doboz vékony olajréteggel borított asztalon mozoghat, a súrlódási erő csak a doboz sebességétől függ: \(\displaystyle {\boldsymbol F=-k\boldsymbol v}\). Kezdetben a doboz áll, a kiskocsi a bal oldali faltól indulva \(\displaystyle v_0\) nagyságú sebességgel kezd mozogni jobbra. Hányszor fog rugalmasan ütközni az \(\displaystyle \ell\) hosszúságú kiskocsi az \(\displaystyle L\) hosszú dobozzal? (A rugalmas ütközést a kiskocsin lévő rugók biztosítják, ezek hossza sokkal kisebb, mint \(\displaystyle \ell\).)
A Kvant nyomán
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. június 12-én LEJÁRT.
Megoldás. A kiskocsi jobb oldalon ütközik a dobozzal, ekkor ,,sebességet cserélnek''. A doboz lassulva mozog, megtesz \(\displaystyle L-\ell\) utat (ha közben meg nem áll), és a bal oldalánál ütközik a kiskocsival. Ekkor a doboz megáll, és a kiskocsi valamekkora \(\displaystyle v_1<v_0\) sebességgel elindul jobbra. Ez ismétlődik egészen a doboz megállásáig.
A doboz mozgása szempontjából érdektelenek azok az időtartamok, amikor a doboz áll és csak a kiskocsi mozog, ezeket tehát el is hagyhatjuk, és úgy tekinthetjük, mintha a doboz folyamatosan mozgott volna az
\(\displaystyle F= \frac{\Delta(mv)}{\Delta t}=-kv=-k\frac{\Delta x}{\Delta t} \)
mozgásegyenlet szerint. Ebből leolvasható, hogy \(\displaystyle \Delta(mv(t)+kx(t))=0,\) vagyis az \(\displaystyle mv(t)+kx(t)\) mennyiség időben állandó. Mivel kezdetben \(\displaystyle v=v_0\), látható, hogy a doboz összesen \(\displaystyle s=mv_0/k\) utat tesz meg a megállásáig. (Az ehhez szükséges idő ,,végtelen'' hosszú, mert a sebessége exponenciálisan csökken nullára.) Az ütközések száma
\(\displaystyle N=2\left[\frac{s}{L-\ell} \right] +1,\)
ahol \(\displaystyle [x]\) az egészrész-függvényt (\(\displaystyle x\)-nél nem nagyobb egész számot) jelöli.
Statisztika:
24 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bekes Nándor, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fehér 169 Szilveszter, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Kondákor Márk, Kozák András, Krasznai Anna, Marozsák Tóbiás , Nagy 555 Botond, Németh 123 Balázs, Németh 777 Róbert, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Osváth Botond, Páhoki Tamás, Szentivánszki Soma , Tófalusi Ádám, Weisz Máté. 4 pontot kapott: Jakus Balázs István, Sal Dávid. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2017. májusi fizika feladatai