A P. 4970. feladat (2017. november)

P. 4970. Egy jármű \(\displaystyle A\) városból \(\displaystyle B\)-be megy. Útja első részén \(\displaystyle v_1\) az átlagsebessége, a hátralévőn pedig \(\displaystyle v_2\). Második útszakaszának hossza hányszorosa az elsőének, ha a teljes útra vonatkozó átlagsebessége a két részútra vonatkozó átlagsebességének

\(\displaystyle a)\) számtani közepe;

\(\displaystyle b)\) mértani közepe;

\(\displaystyle c)\) harmonikus közepe;

\(\displaystyle d)\) \(\displaystyle 1:k\) arányú súlyozott számtani közepe?

Közli: Zsigri Ferenc, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Az első, \(\displaystyle s_1\) hosszúságú szakaszt \(\displaystyle t_1=s_1/v_1\) idő alatt teszi meg a jármű, a másodikat \(\displaystyle t_2=s_2/v_2\) idő alatt. A teljes útra vonatkozó átlagsebessége:

\(\displaystyle \bar{v}=\frac{s_1+s_2}{t_1+t_2}=\frac{s_1+s_2}{\frac{s_1}{v_1}+\frac{s_2}{v_2}}.\)

Innen az útszakaszok hosszának aránya:

\(\displaystyle \frac{s_2}{s_1}=\frac{1-\frac{\bar{v}}{v_1}}{\frac{\bar{v}}{v_2}-1}. \)

\(\displaystyle a)\) Ha \(\displaystyle \bar{v}=\frac{v_1+v_2}{2},\) akkor \(\displaystyle \frac{s_2}{s_1}= \frac{v_2}{v_1}\). Ilyenkor a \(\displaystyle t_1\) időtartam megegyezik \(\displaystyle t_2\)-vel.

\(\displaystyle b)\) Ha \(\displaystyle \bar{v}= {\sqrt{v_1 v_2}} ,\) akkor \(\displaystyle \frac{s_2}{s_1}= \sqrt{\frac{v_2}{v_1}} \).

\(\displaystyle c)\) Ha \(\displaystyle \bar{v}=\frac{2v_1 v_2}{v_1+ v_2},\) akkor \(\displaystyle \frac{s_2}{s_1}= 1\).

\(\displaystyle d)\) Ha \(\displaystyle \bar{v}=\frac{v_1+kv_2}{1+k},\) akkor \(\displaystyle \frac{s_2}{s_1}= k \frac{v_2}{v_1} \).

Statisztika:

84 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Balaskó Dominik, Bartók Imre, Békési Ábel, Bíró Dániel, Bukor Benedek, Conrád Márk, Czett Mátyás, Debreczeni Tibor, Fajszi Bulcsú, Fekete András Albert, Fekete Balázs Attila, Garamvölgyi István Attila, Geretovszky Anna, Gulácsi Máté, Hervay Bence, Illés Gergely, Jánosdeák Márk, Jánosik Áron, Keltai Dóra, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Kovács 111 Bence, Kovács Gergely Balázs, Lipták Gergő, Mamuzsics Gergő Bence, Markó Gábor, Máth Benedek, Merkl Gergely, Merkl Levente, Molnár 957 Barnabás, Morvai Orsolya, Németh Csaba Tibor, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Pszota Máté, Rusvai Miklós, Sal Dávid, Schneider Anna, Schrott Márton, Selmi Bálint, Seres Soma, Stirling András, Tafferner Zoltán, Takács Árpád, Tófalusi Ádám, Turcsányi Máté.
3 pontot kapott:	18 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

A KöMaL 2017. novemberi fizika feladatai