A P. 4974. feladat (2017. november)

P. 4974. Targoncához erősített, hőszigetelő hengerben \(\displaystyle M=20\) kg tömegű, könnyen mozgó, hőszigetelő dugattyú \(\displaystyle V_0=50\) liter térfogatú, \(\displaystyle T_0=300\) K hőmérsékletű, \(\displaystyle p_0=10^5\) Pa nyomású levegőrészeket választ el. A targonca \(\displaystyle v=10\) m/s sebességgel halad egy fal felé, amellyel tökéletesen rugalmatlanul ütközik. Legfeljebb mekkora hőmérsékletet ér el a fal felőli részben lévő levegő a folyamat során?

Közli: Holics László, Budapest

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. A rugalmatlan ütközés után a targonca és a tartály megáll, de a dugattyú \(\displaystyle v\) kezdősebességgel tovább mozog. A tartályokban lévő levegő adiabatikusan összenyomódik, illetve kitágul, és emiatt felmelegszik, illetve lehűl.

Jelöljük a dugattyú legnagyobb elmozdulásához tartozó térfogatváltozást \(\displaystyle kV_0\)-lal, vagyis legyen a gázrészek térfogata ekkor \(\displaystyle V_0(1+k)\), illetve \(\displaystyle V_0(1-k)\). Mindkét gázrészre felírhatók az ideális gáz állapotegyenletei:

\(\displaystyle \frac{pV}{T}=\text{állandó}, \qquad pV^{1{,}4} =\text{állandó}, \qquad E=\frac{5}{2}pV,\)

ahol \(\displaystyle E\) a gáz belső energiája. Kiszámíthatjuk, hogy a bal oldali gázrészre

\(\displaystyle V_1=V_0(1+k ), \qquad p_1=p_0\left(\frac{V_0}{V_1}\right)^{1{,}4}=\frac{p_0}{\left(1+k\right)^{1{,}4}},\qquad T_1= \frac{T_0}{\left(1+k\right)^{0{,}4}}, \qquad E_1=\frac{5}{2}\frac{p_0V_0}{\left(1+k\right)^{0{,}4}},\)

a jobb oldali részben levő levegőre pedig

\(\displaystyle V_2=V_0(1-k ), \qquad p_2=p_0\left(\frac{V_0}{V_2}\right)^{1{,}4}=\frac{p_0}{\left(1-k\right)^{1{,}4}},\qquad T_2= \frac{T_0}{\left(1-k\right)^{0{,}4}}, \qquad E_2=\frac{5}{2}\frac{p_0V_0}{\left(1-k\right)^{0{,}4}}.\)

A henger fala merev és hőszigetelő, tehát a benne lévő gázok és a dugattyú összenergiája nem változik:

\(\displaystyle 2\cdot \frac{5}{2}p_0V_0+\frac{1}{2}Mv^2=E_1+E_2,\)

vagyis

\(\displaystyle \frac{1}{\left(1-k\right)^{0{,}4}}+\frac{1}{\left(1+k\right)^{0{,}4}}-2=\frac{Mv^2}{5p_0V_0}=0{,}08.\)

Ennek az egyenletnek (pl. a http://www.wolframalpha.com/ program felhasználásával megkapható) megoldása \(\displaystyle k\approx 0{,}38\), és a kérdezett hőmérséklet: \(\displaystyle T_2=359~{\rm K}=86\,^\circ\rm C\).

Statisztika:

47 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Andorfi István, Bartók Imre, Berke Martin, Bonifert Balázs, Csire Roland, Debreczeni Tibor, Édes Lili, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fekete András Albert, Fekete Balázs Attila, Guba Zoltán, Illés Gergely, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Kozák András, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Olosz Adél, Ónodi Gergely, Pácsonyi Péter, Póta Balázs, Sal Dávid, Surján Botond, Tafferner Zoltán, Tófalusi Ádám, Turcsányi Ádám, Viczián Anna.
4 pontot kapott:	Balaskó Dominik, Hajdu 046 Ákos, Mamuzsics Gergő Bence.
2 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2017. novemberi fizika feladatai