A P. 4975. feladat (2017. november)

P. 4975. Egy földi laboratóriumi kísérlet során az $\displaystyle m$ tömegű, $\displaystyle Q$ töltésű kicsiny testet vákuumban, $\displaystyle B$ indukciójú, vízszintes irányú, homogén mágneses térben engedjük el. (Feltehetjük, hogy $\displaystyle mg < QBc$, ahol $\displaystyle c$ a fénysebesség.) A test mozgását addig vizsgáljuk, míg eléri legmélyebb helyzetét.

$\displaystyle a)$ Mekkora lesz a test legnagyobb sebessége?

$\displaystyle b)$ Milyen mélyre süllyed?

$\displaystyle c)$ Mekkora átlagsebességgel mozog vízszintes irányban?

$\displaystyle d)$ Mekkora a test gyorsulása pályájának legmélyebb pontján?

Közli: Simon Péter, Pécs

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Szemléljük a test mozgását egy olyan koordináta-rendszerből, amely vízszintes irányban, a $\displaystyle B$-vonalakra merőlegesen

$\displaystyle v_0=\frac{mg}{QB}$

sebességgel mozog! (Feltesszük, hogy $\displaystyle v_0\ll c$, így a klasszikus mechanika törvényei alkalmazhatóak.) Ebben a rendszerben a mágneses mező mellett fellép egy függőleges irányú,

$\displaystyle E=v_0B=\frac{mg}{Q}$

nagyságú elektromos mező (mozgási indukció). Ha a mozgás irányát megfelelően választjuk, akkor a fellépő $\displaystyle QE=mg$ elektromos erő éppen kiejti a nehézségi erőt. Ebben az esetben a test a vízszintes irányú kezdősebességének megfelelően állandó, $\displaystyle v_0$ nagyságú sebességgel egyenletes körmozgást végez a Lorentz-erő hatására. A $\displaystyle Qv_0B=mv_0^2/R$ mozgásegyenletből következik, hogy a pálya sugara:

$\displaystyle R=\frac{mv_0}{QB}=\left(\frac{m }{QB}\right)^2g.$

$\displaystyle a)$ A test legnagyobb sebessége az eredeti koordináta-rendszerben

$\displaystyle 2v_0= \frac{2mg}{QB},$

ezt a pálya legmélyebb pontjában éri el, ahol a kétféle mozgásból adódó sebességek azonos irányúak.

$\displaystyle b)$ A test legnagyobb lesüllyedése az eredeti koordináta-rendszerben

$\displaystyle 2R=2g\left(\frac{m }{QB}\right)^2.$

$\displaystyle c)$ A vizsgálandó időtartam alatt a test vízszintes irányú átlagsebessége a mozgó koordináta-rendszerben nulla, az eredeti koordináta-rendszerben tehát az átlagsebesség

$\displaystyle v_0 =\frac{mg}{QB}.$

$\displaystyle d)$ A test gyorsulásának nagysága a pálya bármely pontjában mindkét (inerciális) koordináta-rendszerben

$\displaystyle a=\frac{v_0^2}{R}=g$

nagyságú, iránya azonban pillanatról pillanatra változik, a pálya legmélyebb pontjában például függőlegesen felfelé mutat.

Statisztika:

21 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bartók Imre, Berke Martin, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Magyar Róbert Attila, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Póta Balázs, Sal Dávid, Tófalusi Ádám.
4 pontot kapott:	Bukor Benedek.
2 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2017. novemberi fizika feladatai