 |
A P. 4975. feladat (2017. november) |
P. 4975. Egy földi laboratóriumi kísérlet során az \(\displaystyle m\) tömegű, \(\displaystyle Q\) töltésű kicsiny testet vákuumban, \(\displaystyle B\) indukciójú, vízszintes irányú, homogén mágneses térben engedjük el. (Feltehetjük, hogy \(\displaystyle mg < QBc\), ahol \(\displaystyle c\) a fénysebesség.) A test mozgását addig vizsgáljuk, míg eléri legmélyebb helyzetét.
\(\displaystyle a)\) Mekkora lesz a test legnagyobb sebessége?
\(\displaystyle b)\) Milyen mélyre süllyed?
\(\displaystyle c)\) Mekkora átlagsebességgel mozog vízszintes irányban?
\(\displaystyle d)\) Mekkora a test gyorsulása pályájának legmélyebb pontján?
Közli: Simon Péter, Pécs
(5 pont)
A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Szemléljük a test mozgását egy olyan koordináta-rendszerből, amely vízszintes irányban, a \(\displaystyle B\)-vonalakra merőlegesen
\(\displaystyle v_0=\frac{mg}{QB}\)
sebességgel mozog! (Feltesszük, hogy \(\displaystyle v_0\ll c\), így a klasszikus mechanika törvényei alkalmazhatóak.) Ebben a rendszerben a mágneses mező mellett fellép egy függőleges irányú,
\(\displaystyle E=v_0B=\frac{mg}{Q}\)
nagyságú elektromos mező (mozgási indukció). Ha a mozgás irányát megfelelően választjuk, akkor a fellépő \(\displaystyle QE=mg\) elektromos erő éppen kiejti a nehézségi erőt. Ebben az esetben a test a vízszintes irányú kezdősebességének megfelelően állandó, \(\displaystyle v_0\) nagyságú sebességgel egyenletes körmozgást végez a Lorentz-erő hatására. A \(\displaystyle Qv_0B=mv_0^2/R\) mozgásegyenletből következik, hogy a pálya sugara:
\(\displaystyle R=\frac{mv_0}{QB}=\left(\frac{m }{QB}\right)^2g.\)
\(\displaystyle a)\) A test legnagyobb sebessége az eredeti koordináta-rendszerben
\(\displaystyle 2v_0= \frac{2mg}{QB},\)
ezt a pálya legmélyebb pontjában éri el, ahol a kétféle mozgásból adódó sebességek azonos irányúak.
\(\displaystyle b)\) A test legnagyobb lesüllyedése az eredeti koordináta-rendszerben
\(\displaystyle 2R=2g\left(\frac{m }{QB}\right)^2.\)
\(\displaystyle c)\) A vizsgálandó időtartam alatt a test vízszintes irányú átlagsebessége a mozgó koordináta-rendszerben nulla, az eredeti koordináta-rendszerben tehát az átlagsebesség
\(\displaystyle v_0 =\frac{mg}{QB}.\)
\(\displaystyle d)\) A test gyorsulásának nagysága a pálya bármely pontjában mindkét (inerciális) koordináta-rendszerben
\(\displaystyle a=\frac{v_0^2}{R}=g\)
nagyságú, iránya azonban pillanatról pillanatra változik, a pálya legmélyebb pontjában például függőlegesen felfelé mutat.
Statisztika:
21 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bartók Imre, Berke Martin, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Illés Gergely, Magyar Róbert Attila, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Póta Balázs, Sal Dávid, Tófalusi Ádám. 4 pontot kapott: Bukor Benedek. 2 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2017. novemberi fizika feladatai