A P. 4976. feladat (2017. november)

P. 4976. Három kicsiny golyót egy egyenes mentén helyeztünk el úgy, hogy kezdetben nem mozognak, és a szomszédos golyók távolsága $\displaystyle d$. A golyók tömege és töltése rendre $\displaystyle m$, $\displaystyle 2m$, $\displaystyle 5m$, illetve $\displaystyle q$, $\displaystyle q$, $\displaystyle 2q$.

$\displaystyle a)$ Mekkora lesz a golyók távolsága és sebessége az indulást követő nagyon rövid $\displaystyle t_0$ idő múlva?

$\displaystyle b)$ Mekkora lesz a golyók sebessége elegendően hosszú idő múlva?

(Az elektrosztatikus erőkön kívül minden más erőhatás elhanyagolható.)

A Kvant nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2017. december 11-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ Vegyük fel a koordináta-rendszerünk $\displaystyle x$ tengelyét az adott egyenes mentén balról jobbra, és számozzuk meg golyókat növekvő koordinátáknak megfelelő sorrendben. Az 1. golyóra ható erő a kezdeti pillanatban

$\displaystyle F_1=-k\frac{q^2}{d^2}-k\frac{2q^2}{4d^2}=-1{,}5\frac{kq^2}{d^2},$

gyorsulása tehát

$\displaystyle a_1=\frac{F_1}{m}=-1{,}5\frac{kq^2}{md^2},$

és így egy nagyon rövid $\displaystyle t_0$ idő alatti elmozdulása (a mozgását egyenletesen gyorsulónak tekintve)

$\displaystyle x_1= \frac{a_1}{2}t_0^2=-0{,}75~\frac{kq^2}{md^2}t_0^2.$

(A negatív előjel azt mutatja, hogy az első golyócska balra mozdul el.)

Hasonló módon számíthatjuk ki a másik két golyó elmozdulását is:

$\displaystyle F_2= k\frac{q^2}{d^2}-k\frac{2q^2}{ d^2}=-\frac{kq^2}{d^2},\qquad a_2=\frac{F_2}{2m}=-0{,}5\frac{kq^2}{md^2}, \qquad x_2=-0{,}25~\frac{kq^2}{md^2}t_0^2,$

$\displaystyle F_3= k\frac{2q^2}{4d^2}+\frac{2q^2}{ d^2}=2{,}5~\frac{kq^2}{d^2},\qquad a_3=\frac{F_3}{5m}=0{,}5\frac{kq^2}{md^2}, \qquad x_3=0{,}25~\frac{kq^2}{md^2}t_0^2.$

$\displaystyle b)$ Vegyük észre, hogy a szomszédos golyók egymáshoz viszonyított kezdeti gyorsulásai, és emiatt az egymáshoz viszonyított elmozdulásaik is és a sebességkülönbségeik is megegyeznek:

$\displaystyle a_3-a_2=a_2-a_1, \qquad v_3-v_2=v_2-v_1 \qquad\text{és}\qquad x_3-x_2=x_2-x_1.$

Ez a tulajdonság a továbbiakban is megmarad, így akkor is igaz, amikor – elegendően hosszú idő múlva – már nagyon messze kerülnek egymástól. Ilyenkor a végsebességekre fennáll:

A fenti három egyenletből (melyek közül az első a rendszer lendületének, a második az energiájának megmaradását fejezi ki) a végsebességek:

$\displaystyle v_1=-3\sqrt{\frac{kq^2}{2md}}, \qquad v_2=- \sqrt{\frac{kq^2}{2md}}, \qquad v_3=+ \sqrt{\frac{kq^2}{2md}}.$

Statisztika:

51 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Berke Martin, Debreczeni Tibor, Kondákor Márk, Máth Benedek, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Póta Balázs, Sal Dávid.
4 pontot kapott:	Bartók Imre, Bíró Dániel, Csire Roland, Elek Péter, Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Kolontári Péter, Kozák András, Magyar Róbert Attila, Makovsky Mihály, Olosz Adél, Shirsha Bose, Tófalusi Ádám.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	18 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2017. novemberi fizika feladatai