 |
A P. 4982. feladat (2017. december) |
P. 4982. Egy 5 cm sugarú, tömör henger súrlódásmentesen foroghat saját vízszintes tengelye körül. A henger palástjára hosszú, vékony fonalat csavarunk, amelynek szabad végére a hengerrel azonos tömegű testet függesztünk.
\(\displaystyle a)\) A rendszer nyugalmi helyzetből indulva mozgásba jön. Hány fordulatot tesz meg a henger 1,2 másodperc alatt?
\(\displaystyle b)\) Mekkora a felfüggesztett test sebessége \(\displaystyle N\) számú hengerfordulat után?
(A légellenállást elhanyagolhatjuk.)
Közli: Tornyos Tivadar Eörs, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha a fonalat feszítő erő \(\displaystyle F\) és a felfüggesztett test tömege \(\displaystyle m\), a test gyorsulása \(\displaystyle a\), a mozgásegyenletek:
\(\displaystyle F-mg=ma,\)
\(\displaystyle FR=\frac12mR^2\cdot \frac{a}{R}.\)
(\(\displaystyle R\) a henger sugara, \(\displaystyle \Theta=\tfrac12mR^2\) a tömör, homogén tömegeloszlású henger tehetetlenségi nyomatéka.) Innen kifejezhető a gyorsulás: \(\displaystyle a=\tfrac23g.\)
\(\displaystyle a)\) \(\displaystyle t=1{,}2\) s alatt a felfüggesztett test
\(\displaystyle s=\frac{a}{2}t^2=4{,}71~\rm m\)
utat tesz meg. Ez a henger \(\displaystyle 2R\pi=0{,}314\) m-es kerületének 14,99-szerese, tehát a henger kb. 15-öt fordul a megadott idő alatt.
\(\displaystyle b)\) A test sebessége \(\displaystyle N\) fordulat után
\(\displaystyle v_N=\sqrt{\frac{8\pi}{3}RgN}=\sqrt{N}\cdot 2{,}03~\frac{\rm m}{\rm s}.\)
Statisztika:
86 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Balaskó Dominik, Bálint Boglárka Eszter, Balogh 999 Árpád Mátyás, Bartók Imre, Beke Csongor, Békési Ábel, Berke Martin, Boros Máté, Bukor Benedek, Csire Roland, Csuha Boglárka, Debreczeni Tibor, Elek Péter, Fekete Balázs Attila, Garamvölgyi István Attila, Geretovszky Anna, Guba Zoltán, Gulácsi Máté, Hajnal Dániel Konrád, Horváth 999 Anikó, Illés Gergely, Jánosik Áron, Kiszli Zalán, Klučka Vivien, Kolontári Péter, Kondákor Márk, Kozák András, Magyar Róbert Attila, Mamuzsics Gergő Bence, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Merkl Gergely, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Póta Balázs, Pszota Máté, Rusvai Miklós, Sal Dávid, Surján Botond, Szakály Marcell, Tafferner Zoltán, Tófalusi Ádám, Turcsányi Máté, Viczián Anna, Vígh Márton. 3 pontot kapott: 23 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 7 versenyző.
A KöMaL 2017. decemberi fizika feladatai