 |
A P. 4986. feladat (2017. december) |
P. 4986. Szabályos háromszög csúcsaiban \(\displaystyle Q\) nagyságú, pontszerű töltések vannak rögzítve. A háromszög közepén egy \(\displaystyle q\) nagyságú, \(\displaystyle m\) tömegű, pontszerű töltés rezeg a háromszög egyik súlyvonala mentén. A rezgés amplitúdója a háromszög köré írható kör \(\displaystyle D\) átmérőjénél sokkal kisebb.
Mekkora a rezgés körfrekvenciája? (Csak az elektromos erőket vegyük figyelembe.)
Közli: Radnai Gyula, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Ha a középső töltés kicsiny \(\displaystyle x\) távolsággal elmozdul a súlyvonal mentén, akkor a rá ható eredő elektromos erő:
\(\displaystyle F(x)=kqQ\left(\frac{1}{(R+x)^2}-2\frac{(\frac12R)-x}{\left(R^2-Rx+x^2\right)^{3/2}} \right).\)
(\(\displaystyle R=\tfrac12D\) a \(\displaystyle q\) és az egyik \(\displaystyle Q\) töltésű test távolsága, vagyis a körülírt kör sugara.) Ha az \(\displaystyle x/R\ll 1\) mennyiség egynél magasabb hatványait 1 mellett elhanyagoljuk, továbbá alkalmazzuk az \(\displaystyle \left(1+\frac{x}{R}\right)^n\approx 1+n \frac{x}{R}\) formulát, az erőre ezt a képletet kapjuk:
\(\displaystyle F(x)=-12\frac{kqQ}{D^3}\, x.\)
Ez megegyezik egy
\(\displaystyle D_\text{rugó}=12\frac{kqQ}{D^3}\)
rugóállandójú rugó által kifejtett rugalmas erővel, tehát a rezgés körfrekvenciája:
\(\displaystyle \omega=\sqrt{\frac{D_\text{rugó}}{m}}=\sqrt{12\frac{kqQ}{D^3m}}.\)
Megjegyzések. 1. A mozgás csak akkor lesz stabil rezgés, ha – valamilyen módon – biztosítjuk, hogy a \(\displaystyle q\) töltésű test csak a háromszög síkjában mozoghasson. A háromszög síkjára merőleges irányban (már a legkisebb ilyen irányú eltávolodás esetén) a testre taszítóerő hat, ami egyre gyorsuló ütemben eltávolítja a \(\displaystyle q\) töltésű testet az (instabil) egyensúlyi helyzetétől.
2. Belátható, hogy a középső test nemcsak a súlyvonal mentén, hanem a súlyponton átmenő bármelyik (a háromszög síkjában fekvő) egyenes mentén ugyanakkora körfrekvenciájú rezgést végezhet.
Statisztika:
32 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bartók Imre, Bíró Dániel, Elek Péter, Fekete Balázs Attila, Makovsky Mihály, Németh Csaba Tibor, Póta Balázs, Tófalusi Ádám, Turcsányi Ádám. 4 pontot kapott: Andorfi István, Berke Martin, Bukor Benedek, Csuha Boglárka, Debreczeni Tibor, Fajszi Bulcsú, Geretovszky Anna, Guba Zoltán, Hajnal Dániel Konrád, Illés Gergely, Kondákor Márk, Magyar Róbert Attila, Mamuzsics Gergő Bence, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Olosz Adél, Sal Dávid, Shirsha Bose. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2017. decemberi fizika feladatai