A P. 4990. feladat (2017. december)

P. 4990. Egy függőleges tengelyű, rögzített cső szélesebb részének keresztmetszete \(\displaystyle A_1\), a keskenyebb részé pedig \(\displaystyle A_2\). A csőben két dugattyú és közöttük \(\displaystyle \varrho\) sűrűségű folyadék van. A dugattyúkat \(\displaystyle \ell\) hosszúságú, merev rúd köti össze. A dugattyúk és a rúd tömege elhanyagolható. A külső légnyomás \(\displaystyle p_0\).

Mekkora és milyen irányú erő hat a rúdban, ha a cső

\(\displaystyle a)\) a keskenyebb,

\(\displaystyle b)\) a szélesebb

részére támaszkodik egy vízszintes lapon?

Milyen furcsaság történik akkor, ha \(\displaystyle \ell\) ,,viszonylag nagy''?

A Kvant nyomán

(6 pont)

A beküldési határidő 2018. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. \(\displaystyle a)\) Legyen a folyadék nyomása a felső dugattyúnál \(\displaystyle p\), az alsónál pedig \(\displaystyle p+\varrho g\ell\). Jelöljük a rúdban ébredő erőt \(\displaystyle F\)-fel, és akkor tekintsük pozitívnak, ha húzóerő alakul ki.

Az \(\displaystyle a)\) esetben a dugattyúk mechanikai egyensúlyának feltétele:

\(\displaystyle p_0A_1=pA_1-F,\)

illetve

\(\displaystyle p_0A_2=(p+\varrho g\ell)A_2-F.\)

Ebből a két egyenletből következik, hogy

\(\displaystyle F=\frac{A_1 A_2}{A_1-A_2}\varrho g \ell>0 \qquad \text{és}\qquad p=p_0+\frac{A_2}{A_1-A_2}\varrho g \ell>p_0.\)

A folyadék nyomása tehát mindenhol nagyobb, mint a légköri nyomás, és a rúdban húzóerő ébred.

Hasonló módon számolhatunk a \(\displaystyle b)\) esetben is (\(\displaystyle A_1\) és \(\displaystyle A_2\) szerepet cserélnek).

\(\displaystyle F=-\frac{A_1 A_2}{A_1-A_2}\varrho g \ell<0 \qquad \text{és}\qquad p=p_0-\frac{A_1}{A_1-A_2}\varrho g \ell<p_0.\)

A folyadék nyomása tehát ilyenkor a felső dugattyúnál kisebb, mint a légköri nyomás, és a rúdban nyomóerő ébred.

Érdekes helyzet áll elő, ha\(\displaystyle \frac{A_1}{A_1-A_2}\varrho g\ell >p_0\). Ekkor a folyadék – a \(\displaystyle b)\) esetben – elválik a felső dugattyútól (forrni kezd), majd a dugattyú és a rúd addig süllyed lefelé, amíg a felső dugattyú meg nem akad a szűkületnél.

Statisztika:

25 dolgozat érkezett.
6 pontot kapott:	Elek Péter, Fekete András Albert, Fekete Balázs Attila, Kondákor Márk, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Olosz Adél, Sal Dávid.
5 pontot kapott:	Bartók Imre, Békési Ábel, Bonifert Balázs, Csire Roland, Makovsky Mihály, Póta Balázs, Sas 202 Mór, Schneider Anna, Tófalusi Ádám, Turcsányi Ádám.
4 pontot kapott:	1 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.

A KöMaL 2017. decemberi fizika feladatai