A P. 5014. feladat (2018. március)

P. 5014. Mekkora sebességgel kellene fellőni egy lövedéket a Holdon, hogy emelkedési magassága elérje a Hold sugarának \(\displaystyle p\) százalékát? Legyen először \(\displaystyle p=1\), azután \(\displaystyle p=10\), végül \(\displaystyle p=100\). Mindhárom esetben 2 értékes jegy pontossággal adjuk meg az eredményt!

Példatári feladat nyomán

(4 pont)

A beküldési határidő 2018. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. A Hold felszínén a nehézségi gyorsulás

\(\displaystyle g_0=\frac{\gamma M_\text{Hold}}{R^2}\approx 1{,}62~\frac{\rm m}{\rm s^2},\)

ahol \(\displaystyle R\approx 1738~\rm km\) a Hold (átlagos) sugara.

Ha a lövedék emelkedési magassága \(\displaystyle h=0{,}01R\), a nehézségi gyorsulás (2 értékes jegyre történő számolásnál) állandónak tekinthető, így a kezdősebesség \(\displaystyle v_0=\sqrt{2g_0h}=0{,}24~\)km/s.

Ha az emelkedési magasság \(\displaystyle \tfrac{p}{100}R\), és \(\displaystyle p=10\), illetve \(\displaystyle p=100\), figyelembe kell vegyük, hogy a nehézségi gyorsulás a Hold középpontjától mért \(\displaystyle r\) távolságban

\(\displaystyle g(r)= g_0\frac{R^2}{r^2},\)

és ennek megfelelően egy \(\displaystyle m\) tömegű lövedék gravitációs helyzeti energiája

\(\displaystyle E(r)=-\frac{\gamma M_\text{Hold}}{r}=-mg_0\frac{R^2}{r}.\)

Az energiamegmaradás tétele szerint

\(\displaystyle \frac1{2}mv_0^2=E\left(R+\tfrac{p}{100}R\right)-E(R),\)

azaz

\(\displaystyle v_0=\sqrt{2g_0R} \sqrt{\tfrac{p}{p+100}}= \sqrt{\tfrac{p}{p+100}}\cdot 2{,}37 ~\frac{\rm km}{\rm s}.\)

Ez az érték \(\displaystyle p=1\) esetén \(\displaystyle 0{,}24~\)km/s, tehát megegyezik a korábbi (homogén gravitációs teret feltételező) számolás eredményével, viszont \(\displaystyle p=10\)-nél \(\displaystyle 0{,}72~\)km/s, \(\displaystyle p=100\)-nál pedig \(\displaystyle 1{,}7~\)km/s. Ez utóbbi két sebesség már eltér a naiv számolás \(\displaystyle 0{,}75~\)km/s és \(\displaystyle 2{,}4~\)km/s értékeitől.

Statisztika:

81 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Balaskó Dominik, Beke Csongor, Békési Ábel, Berke Martin, Bíró Dániel, Bonifert Balázs, Boros Máté, Bukor Benedek, Conrád Márk, Csire Roland, Debreczeni Tibor, Édes Lili, Fajszi Bulcsú, Fekete András Albert, Fialovszky Márk, Garamvölgyi István Attila, Geretovszky Anna, Girus Kinga, Hajnal Dániel Konrád, Horváth 999 Anikó, Illés Gergely, Jánosik Áron, Kiszli Zalán, Kondákor Márk, Kozák András, Magyar Máté, Makovsky Mihály, Mamuzsics Gergő Bence, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Merkl Gergely, Merkl Levente, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Póta Balázs, Pszota Máté, Sal Dávid, Sas 202 Mór, Schottner Kristóf Károly, Schrott Márton, Surján Botond, Szakály Marcell, Tafferner Zoltán, Takács Árpád, Turcsányi Ádám, Vaszary Tamás, Viczián Anna, Vígh Márton.
3 pontot kapott:	10 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	16 versenyző.
0 pontot kapott:	4 versenyző.

A KöMaL 2018. márciusi fizika feladatai