A P. 5030. feladat (2018. április)

P. 5030. Egy $\displaystyle 4d$ hosszúságú, $\displaystyle m$ tömegű, szigetelő pálca végeihez ugyancsak $\displaystyle m$ tömegű, kicsiny fémgömböket rögzítettünk. A pálca egyik végétől $\displaystyle d$ távolságban egy $\displaystyle m$ tömegű, átfúrt fémgömb található, amely súrlódásmentesen csúszhat a pálcán. Mindhárom fémgömbre $\displaystyle Q$ töltést juttatunk, és a rendszert – egy űrállomáson lebegve – magára hagyjuk.

Mekkora lesz a középső gömb maximális sebessége, és mennyit mozdulnak el a testek a legnagyobb sebesség eléréséig?

Versenyfeladat nyomán

(4 pont)

A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Amikor a középső test sebessége maximális, a gyorsulása nulla, tehát a rá ható eredő erő is nulla. Ez a feltétel a szigetelő pálca közepénél, vagyis az egész rendszer tömegközéppontjában teljesül.

A tömegközéppont az átfúrt gömb kezdeti helyzetétől balra, attól

$\displaystyle x=\frac{m\cdot 3d+m\cdot d-m\cdot d}{m+m+m+m}=\frac{3}{4}d$

távolságra található. A tömegközéppont a mozgás során ugyanazon a helyen marad, tehát a legnagyobb sebesség eléréséig az átfúrt gömb $\displaystyle (3/4)d$ távolságnyit mozdul el balra, a rúd pedig $\displaystyle (1/4)d$ távolságnyit mozdul el jobbra.

Ha az $\displaystyle m$ tömegű átfúrt fémgömb legnagyobb sebessége $\displaystyle v$, akkor (a lendületmegmaradás törvénye szerint) a $\displaystyle 3m$ össztömegű szigetelő pálca + a végeihez rögzített fémgömbökből álló rendszer sebessége $\displaystyle v/3$. Az energiamegmaradás törvénye szerint:

$\displaystyle \frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}(3m)\left(\frac{v}{3}\right)^2=\frac{kQ^2}{d}\left(1+\frac13-\frac12-\frac12\right),$

ahonnan az átfúrt gömb maximális sebessége (balra)

$\displaystyle v=\sqrt{\frac{kQ^2}{2md}},$

a szigetelő pálca legnagyobb sebessége pedig (jobbra)

$\displaystyle 3v=3\sqrt{\frac{kQ^2}{2md}}.$

Statisztika:

31 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Csuha Boglárka, Fajszi Bulcsú, Jánosik Áron, Makovsky Mihály, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Olosz Adél, Sal Dávid, Tordai Tegze.
3 pontot kapott:	Bartók Imre, Illés Gergely, Kozák 023 Áron, Kozák András, Vaszary Tamás.
2 pontot kapott:	14 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. áprilisi fizika feladatai