 |
A P. 5033. feladat (2018. április) |
P. 5033. Kozmikus porból és gázokból álló, \(\displaystyle M\) tömegű csillagközi köd perdülete \(\displaystyle N\). A belső gravitációs hatások következtében a köd teljes anyaga két kis méretű gömbbe tömörül, és így kettőscsillag alakul ki.
\(\displaystyle a)\) Mekkora a kettőscsillag tömegközéppont körüli \(\displaystyle T_\text{csillag}\) keringési ideje, ha a csillagok körpályán mozognak, és a tömegük \(\displaystyle m_1\), illetve \(\displaystyle m_2\)? (\(\displaystyle m_1+m_2=M\) és \(\displaystyle m_1\le m_2\).)
\(\displaystyle b)\) Mekkora lehet a két csillag távolsága?
\(\displaystyle c)\) Ha a kialakuló kettőscsillag távolsága nem pontosan állandó, hanem kis amplitúdóval ingadozik, mekkora ennek az ingadozásnak a periódusideje?
Közli: Mihail Sandu, Călimănești, Románia
(6 pont)
A beküldési határidő 2018. május 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A perdületmegmaradás és a Newton-féle mozgásegyenlet szerint
\(\displaystyle T_\text{csillag}=2\pi \frac{N^3(m_1+m_2)}{\gamma^2m_1^3m_2^3}\ge 128\,\pi \frac{ N^3}{\gamma^2M^5}.\)
\(\displaystyle b)\) A két csillag távolsága
\(\displaystyle d=\frac{N^2(m_1+m_2)}{\gamma m_1^2m_2^2}\ge \frac{16\,N^2 }{\gamma M^3} .\)
\(\displaystyle c)\) Ha a csillagok nem kör, hanem egy-egy kicsiny \(\displaystyle \varepsilon \ll 1\) excentricitású ellipszisen keringenek a közös tömegközéppontjuk körül, a keringés ideje (Kepler III. törvénye szerint) az ellipszis területével arányos. Ez azonban ,,első közelítésben'' ugyanakkora, mint a nulla excentricitású kör területe (az eltérés csak \(\displaystyle \varepsilon\) négyzetével arányos), emiatt az ellipszispályán a keringési idő – ebben a közelítésben – ugyanakkora, mint a körmozgás keringési ideje. A két mozgás eltérése a kettőscsillaggal együttforgó koordináta-rendszerből nézve kis amplitúdójú rezgésnek mutatkozik, amelyre
\(\displaystyle T_\text{rezgés}=T_\text{csillag}2\pi \frac{N^3(m_1+m_2)}{\gamma^2m_1^3m_2^3}.\)
Statisztika:
18 dolgozat érkezett. 6 pontot kapott: Fajszi Bulcsú, Marozsák Tóbiás , Tordai Tegze. 5 pontot kapott: Édes Lili, Elek Péter, Kondákor Márk, Máth Benedek, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Sal Dávid. 4 pontot kapott: 3 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2018. áprilisi fizika feladatai