A P. 5037. feladat (2018. május)

P. 5037. Egy 50 cm hosszúságú, 100 g tömegű, apró szemekből álló láncot függőleges helyzetben lógatunk úgy, hogy a vége éppen egy mérleg felett helyezkedjen el. A láncot egyszer csak elengedjük.

Határozzuk meg és ábrázoljuk a mérleg által mutatott értéket a lánc tetejének a mérlegtől való távolsága, illetve az elengedés pillanatától mért idő függvényében!

A Kvant nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Jelöljük a lánc teljes tömegét \(\displaystyle m\)-mel, hosszát \(\displaystyle L\)-lel, a tetejének a mérlegtől mért távolságát \(\displaystyle s\)-sel, az elengedésétől számított időt pedig \(\displaystyle t\)-vel.

A lánc által megtett út: \(\displaystyle \frac{g}{2}t^2,\) így

\(\displaystyle s=L-\frac{g}{2}t^2.\)

A lánc sebessége \(\displaystyle v=gt\), így \(\displaystyle \Delta t\) idő alatt \(\displaystyle v\Delta t \frac{m}{L}\) tömegű, \(\displaystyle \Delta I=v^2\Delta t \frac{m}{L}\) lendületű láncdarab fékeződik le a mérlegtányéron. A mérlegen \(\displaystyle t\) idővel az indítás után \(\displaystyle m'=\frac{m}{L}\frac{g}{2}t^2\) tömegű, \(\displaystyle \frac{mg}{L}\frac{g}{2}t^2\) súlyú láncdarab található. A mérleg által mutatott érték:

\(\displaystyle G(t)=m'g+\frac{\Delta I}{\Delta t}=\frac{3mg^2t^2}{2L},\)

ami az \(\displaystyle s\) távolsággal is kifejezhető:

\(\displaystyle G(s)= 3mg \left(1-\frac{s}{L}\right) .\)

A lánc \(\displaystyle T=\sqrt{2L/g}\) idő alatt éri el az \(\displaystyle s=0\) értéket (vagyis amikor a lánc teljes egészében a mérlegre kerül), ekkor a mérleg \(\displaystyle 3mg\) súlyt, vagy ennek megfelelő tömeget mutat.

Statisztika:

17 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Elek Péter, Fekete Balázs Attila, Guba Zoltán, Kondákor Márk, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Marozsák Tóbiás , Máth Benedek, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Sal Dávid.
4 pontot kapott:	Bukor Benedek.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. májusi fizika feladatai