 |
A P. 5043. feladat (2018. május) |
P. 5043. Egy \(\displaystyle 1{,}6\cdot 10^{-13}\) J mozgási energiájú deutérium álló tríciumba ütközik. A lejátszódó magreakció:
\(\displaystyle {}^2_1{\rm H}+ {}^3_1{\rm H}\rightarrow {}^4_2{\rm He}+ {}^1_0{\rm n}. \)
A kilépő neutron sebessége a deutérium sebességének irányával \(\displaystyle 60^\circ\)-os szöget zár be.
\(\displaystyle a)\) Mennyi energia szabadul fel?
\(\displaystyle b)\) Mennyi lesz az \(\displaystyle \alpha\)-részecske és a neutron mozgási energiája az ütközés után?
\(\displaystyle c)\) Mekkora szöget zár be az \(\displaystyle \alpha\)-részecske sebessége a deutérium sebességével?
(Az izotóptömegek táblázata megtalálható honlapunkon a www.komal.hu/cikkek/atomtomegek.pdf címen.)
Közli: Kobzos Ferenc, Dunaújváros
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. június 11-én LEJÁRT.
Megoldás. \(\displaystyle a)\) Táblázati adat szerint a reakcióban \(\displaystyle \Delta E=17{,}6~\)MeV energia szabadul fel. Ugyanezt a tömegcsökkenésből is megkaphatjuk:
\(\displaystyle m_\text{deutérium}+m_\text{trícium}-m_\alpha-m_\text{neutron}=0{,}018\,88~{\rm u}=17{,}58\frac{\rm MeV}{c^2}.\)
\(\displaystyle b)\) A deutérium sebessége a megadott mozgási energiából (nemrelativisztikusan) számolva: \(\displaystyle v_{\rm d}=9{,}78\cdot 10^6~\)m/s Ez sokkal kisebb, mint a fénysebesség, a nemrelativisztikus képlet alkalmazása tehát jogos volt.
A deutérium mozgási energiája \(\displaystyle E_0=1{,}0~\)MeV, a reakció során felszabaduló energia 17,6 MeV, az \(\displaystyle \alpha\)-részecske és a neutron összes mozgási energiája tehát 18,6 MeV. A deuteron impulzusa (az energiájából és a tömegéből számíthatóan) 61,25 MeV/\(\displaystyle c\).
Jelöljük az \(\displaystyle \alpha\)-részecske impulzusát \(\displaystyle x\cdot \frac{\rm MeV}{c}\), a neutron impulzusát pedig \(\displaystyle y\cdot \frac{\rm MeV}{c}\) módon. Az \(\displaystyle \alpha\)-részecske mozgási energiája az impulzusával kifejezve (és az atomtömeg táblázati értékét felhasználva):
\(\displaystyle E_\alpha=\frac{\left(x\cdot \frac{\rm MeV}{c}\right)^2}{2\cdot 4{,}0026\, {\rm u}}= \frac{\left(x\cdot \frac{\rm MeV}{c}\right)^2}{2\cdot 4{,}0026\cdot 931{,}49\,\frac{\rm MeV}{c^2}}=1{,}341\cdot10^{-4}~{\rm MeV}\cdot x^2. \)
Hasonló módon adódik, hogy a neutron mozgási energiája \(\displaystyle 5{,}321\cdot 10^{-4}~{\rm MeV}\cdot y^2.\)
Az energiamegmaradás törvénye szerint
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle 18{,}6= 1{,}341\cdot 10^{-4} x^2+5{,}321\cdot 10^{-4} y^2,\) |
az impulzusmegmaradás törvénye szerint pedig
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle 61{,}25=x\,\cos\varphi+\frac{1}{2}y,\) |
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle x\,\sin\varphi=y\frac{\sqrt{3}}{2},\) |
ahol \(\displaystyle \varphi\) az \(\displaystyle \alpha\)-részecske sebességének iránya a deuteron sebességébez viszonyítva.
Az (1)-(3) egyenletekből kiszámíthatjuk, hogy \(\displaystyle \varphi=99{,}3^\circ\) és \(\displaystyle x=150{,}0\), továbbá \(\displaystyle y=171{,}1\). A reakció során keletkező részecskék energiája tehát \(\displaystyle E_\alpha=3{,}0~{\rm MeV}=0{,}48~\)pJ és \(\displaystyle E_\text{neutron}=15{,}6~{\rm MeV}=2{,}50~\)pJ.
Statisztika:
14 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Kolontári Péter, Marozsák Tóbiás . 4 pontot kapott: Bukor Benedek. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2018. májusi fizika feladatai