A P. 5043. feladat (2018. május)

P. 5043. Egy $\displaystyle 1{,}6\cdot 10^{-13}$ J mozgási energiájú deutérium álló tríciumba ütközik. A lejátszódó magreakció:

$\displaystyle {}^2_1{\rm H}+ {}^3_1{\rm H}\rightarrow {}^4_2{\rm He}+ {}^1_0{\rm n}.$

A kilépő neutron sebessége a deutérium sebességének irányával $\displaystyle 60^\circ$-os szöget zár be.

$\displaystyle a)$ Mennyi energia szabadul fel?

$\displaystyle b)$ Mennyi lesz az $\displaystyle \alpha$-részecske és a neutron mozgási energiája az ütközés után?

$\displaystyle c)$ Mekkora szöget zár be az $\displaystyle \alpha$-részecske sebessége a deutérium sebességével?

(Az izotóptömegek táblázata megtalálható honlapunkon a www.komal.hu/cikkek/atomtomegek.pdf címen.)

Közli: Kobzos Ferenc, Dunaújváros

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. június 11-én LEJÁRT.

Megoldás. $\displaystyle a)$ Táblázati adat szerint a reakcióban $\displaystyle \Delta E=17{,}6~$MeV energia szabadul fel. Ugyanezt a tömegcsökkenésből is megkaphatjuk:

$\displaystyle m_\text{deutérium}+m_\text{trícium}-m_\alpha-m_\text{neutron}=0{,}018\,88~{\rm u}=17{,}58\frac{\rm MeV}{c^2}.$

$\displaystyle b)$ A deutérium sebessége a megadott mozgási energiából (nemrelativisztikusan) számolva: $\displaystyle v_{\rm d}=9{,}78\cdot 10^6~$m/s Ez sokkal kisebb, mint a fénysebesség, a nemrelativisztikus képlet alkalmazása tehát jogos volt.

A deutérium mozgási energiája $\displaystyle E_0=1{,}0~$MeV, a reakció során felszabaduló energia 17,6 MeV, az $\displaystyle \alpha$-részecske és a neutron összes mozgási energiája tehát 18,6 MeV. A deuteron impulzusa (az energiájából és a tömegéből számíthatóan) 61,25 MeV/$\displaystyle c$.

Jelöljük az $\displaystyle \alpha$-részecske impulzusát $\displaystyle x\cdot \frac{\rm MeV}{c}$, a neutron impulzusát pedig $\displaystyle y\cdot \frac{\rm MeV}{c}$ módon. Az $\displaystyle \alpha$-részecske mozgási energiája az impulzusával kifejezve (és az atomtömeg táblázati értékét felhasználva):

$\displaystyle E_\alpha=\frac{\left(x\cdot \frac{\rm MeV}{c}\right)^2}{2\cdot 4{,}0026\, {\rm u}}= \frac{\left(x\cdot \frac{\rm MeV}{c}\right)^2}{2\cdot 4{,}0026\cdot 931{,}49\,\frac{\rm MeV}{c^2}}=1{,}341\cdot10^{-4}~{\rm MeV}\cdot x^2.$

Hasonló módon adódik, hogy a neutron mozgási energiája $\displaystyle 5{,}321\cdot 10^{-4}~{\rm MeV}\cdot y^2.$

Az energiamegmaradás törvénye szerint

az impulzusmegmaradás törvénye szerint pedig

ahol $\displaystyle \varphi$ az $\displaystyle \alpha$-részecske sebességének iránya a deuteron sebességébez viszonyítva.

Az (1)-(3) egyenletekből kiszámíthatjuk, hogy $\displaystyle \varphi=99{,}3^\circ$ és $\displaystyle x=150{,}0$, továbbá $\displaystyle y=171{,}1$. A reakció során keletkező részecskék energiája tehát $\displaystyle E_\alpha=3{,}0~{\rm MeV}=0{,}48~$pJ és $\displaystyle E_\text{neutron}=15{,}6~{\rm MeV}=2{,}50~$pJ.

Statisztika:

14 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Fajszi Bulcsú, Fekete Balázs Attila, Kolontári Péter, Marozsák Tóbiás .
4 pontot kapott:	Bukor Benedek.
3 pontot kapott:	2 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2018. májusi fizika feladatai