A P. 5045. feladat (2018. szeptember)

P. 5045. A Holdon egy szabadon eső test teljes esési magassága $\displaystyle n$-szer nagyobb, mint az utolsó másodpercben megtett útja. Határozzuk meg az esés magasságát és az esés idejét!

Faragó Andor (1877-1944) feladata nyomán

(4 pont)

A beküldési határidő 2018. október 10-én LEJÁRT.

I. megoldás. A Holdon a nehézségi gyorsulás a földi érték egyhatoda: $\displaystyle g'\approx 1{,}6~\rm m/s^2$. Jelöljük a teljes esési magasságot $\displaystyle h$-val, az esés teljes idejét $\displaystyle T$-vel, és az utolsó másodperc hosszát (általánosan) $\displaystyle t_0$-lal.

A következő egyenleteket írhatjuk fel:

$\displaystyle h=\frac{g'}{2}T^2,$

$\displaystyle h-\frac{h}{n}=\frac{g'}{2}(T-t_0)^2.$

A két egyenlet hányadosából

$\displaystyle \frac{1}{n}T^2-2Tt_0+t_0^2=0$

következik, amelynek formális megoldása

$\displaystyle T=\left(n\pm\sqrt{n^2-n}\right)t_0.$

Ha a gyökjel előtti előjelet negatívnak választanánk, $\displaystyle T<t_0$ értéket kapnánk, ami ellentmond a feladat szövegének. A helyes megoldás tehát az esés idejére

$\displaystyle T=\left(n+\sqrt{n^2-n}\right)~ \text{másodperc},$

az esési magasságra pedig

$\displaystyle h=\frac{g't_0^2}{2}\left( n+\sqrt{n^2-n} \right)^2\approx 0{,}8\cdot \left( n+\sqrt{n^2-n} \right)^2~ \text{méter}.$

II. megoldás. Használjuk az I. megoldás jelöléseit!

A test sebessége az utolsó másodperc kezdetekor

$\displaystyle v_1=\sqrt{ {2g'h}\left(1-\frac{1}{n}\right) },$

az utolsó másodperc végén (a talajra érkezéskor) pedig

$\displaystyle v_2=\sqrt{ {2g'h} }.$

Fennáll, hogy

$\displaystyle v_2-v_1=g't_0,$

ahonnan a

$\displaystyle h=\frac{g't_0^2}{2}\left( n+\sqrt{n^2-n} \right)^2\approx 0{,}8\cdot \left( n+\sqrt{n^2-n} \right)^2~ \text{méter}$

eredményt kapjuk. Innen az esés ideje is könnyen kiszámítható (lásd az I. megoldás megfelelő képletét).

Megjegyzés. A kapott összefüggések mértékegységre nézve csak akkor helyesek, ha a métert, illetve a másodpercet is tartalmazzák. Ezek nélkül a megoldás hiányos.

Statisztika:

103 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Barta Gergely, Békési Ábel, Bokor Endre, Bukor Benedek, Cseke Balázs, Csépányi István, Czett Mátyás, Fülöp Sámuel Sihombing, Jánosdeák Márk, Kondákor Márk, Lipták Gergő, Mácsai Dániel, Markó Gábor, Merkl Gergely, Merkl Levente, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Osztényi József, Szabó 314 László, Telek Dániel.
3 pontot kapott:	34 versenyző.
2 pontot kapott:	26 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	8 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	2 dolgozat.

A KöMaL 2018. szeptemberi fizika feladatai