 |
A P. 5049. feladat (2018. szeptember) |
P. 5049. Legalább mekkora sebességgel kell elindítani egy rakétát a Földről, hogy eljusson a Holdra? Hasonlítsuk össze ezt a sebességet a második kozmikus sebességgel! (Az egyszerűség kedvéért a Föld és a Hold mozgását ne vegyük figyelembe!)
Közli: Cserti József, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2018. október 10-én LEJÁRT.
Megoldás. A Föld \(\displaystyle M\) tömege kb. 81-szer nagyobb, mint a Hold \(\displaystyle m\) tömege. A Föld közepes sugara \(\displaystyle R_\text{Föld}=6370~\)km, a Föld és a Hold középpontjának átlagos távolsága \(\displaystyle d=385\,000~\)km.
A Föld és a Hold között a Föld középpontjától \(\displaystyle \tfrac9{10}d\), a Holdétól \(\displaystyle \tfrac1{10}d\) távolságban van az a \(\displaystyle P\) pont, ahol a Föld és a Hold gravitációs vonzóereje éppen kiegyenlíti egymást. Ha a Hold nem mozogna, akkor a rakétának eddig a pontig kellene eljutnia, onnan már ,,magától'' ráesne a Holdra.
Ismerve, hogy \(\displaystyle m_1\) és \(\displaystyle m_2\) tömegű, egymástól \(\displaystyle r\) távolságban lévő testek gravitációs potenciális energiája \(\displaystyle -\gamma m_1m_2/r\), a Föld felszínéről \(\displaystyle v\) sebességgel elindított \(\displaystyle m_0\) tömegű test akkor jut el a \(\displaystyle P\) pontig, ha fennáll:
\(\displaystyle \frac{1}{2}m_0v^2-\gamma \frac{Mm_0}{R_\text{Föld}}-\gamma \frac{mm_0}{d-R_\text{Föld} }= -\gamma \frac{Mm_0}{\tfrac9{10}d } -\gamma \frac{mm_0}{\tfrac1{10}d }. \)
Innen az adatok behelyettesítése után
\(\displaystyle v=\sqrt{\frac{2\gamma M}{R_\text{Föld}}}\cdot 0{,}99. \)
Az első tényező a második kozmikus sebesség, értéke kb. 11,2 km/s. Ekkora sebességgel indított rakéta ,,végtelen messze'' eltávolodhat a Földtől. A második tényező nagysága csupán 1 százalékkal kisebb 1-nél. A Holdba juttatás minimális sebessége tehát (az adott egyszerűsítő feltevések mellett) 11,1 km/s.
Statisztika:
80 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Andorfi István, Beke Zsolt, Bekes Barnabás, Békési Ábel, Bonifert Balázs, Bukor Benedek, Conrád Márk, Csépányi István, Debreczeni Tibor, Elek Péter, Fekete András Albert, Fonyi Máté Sándor, Fülöp Sámuel Sihombing, Gulácsi Máté, Hajdú Bálint, Hamilton-Meikle Jonathan György, Hartmann Alice, Hervay Bence, Horváth 127 Ádám, Jánosik Áron, Kondákor Márk, Kozák 023 Áron, Lipták Gergő, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Marozsák Tádé, Máth Benedek, Merkl Gergely, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Sal Dávid, Sas 202 Mór, Schäffer Bálint, Sugár Soma, Szabó 314 László, Takács Árpád, Telek Dániel, Tiefenbeck Flórián, Turcsányi Ádám, Varga Vázsony, Vaszary Tamás. 4 pontot kapott: 8 versenyző. 3 pontot kapott: 13 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 2 dolgozat.
A KöMaL 2018. szeptemberi fizika feladatai