A P. 5058. feladat (2018. október)

P. 5058. Egy hóbortos alaszkai vállalkozó különleges kalandparkot működtet. Egy nagyon magas jéghegy belsejében csavarvonal alakú bobpályát épít. A csavarvonal tengelye függőleges, átmérője $\displaystyle d$, menetemelkedése $\displaystyle h$. A pálya a hegy tetejétől indul, és a hegy aljánál egy rövid, súrlódásmentesnek tekinthető kanyar után $\displaystyle s$ hosszúságú, vízszintes, egyenes szakaszban végződik. A pálya nagyon hosszú (az utasok számára ,,végtelen hosszúnak'' tűnik), és a bobok (amelyeken sem kormány, sem fék nincsen) éppen a vízszintes szakasz végén állnak meg. (Az egyszerűség kedvéért tekintsük a bobokat tömegpontoknak.)

$\displaystyle a)$ Mekkora a csúszási súrlódási együttható a bob fémteste és a jég között?

$\displaystyle b)$ Mekkora a bobok legnagyobb sebessége?

Adatok: $\displaystyle d=10$ m, $\displaystyle h=1{,}5$ m, $\displaystyle s=270$ m.

Közli: Gnädig Péter, Vácduka

(5 pont)

A beküldési határidő 2018. november 12-én LEJÁRT.

Megoldás. Az $\displaystyle m$ tömegű bobok a ,,nagyon hosszú'', csavarvonal alakú pályán valamekkora $\displaystyle v$ nagyságú állandósult sebességgel mozognak. A pálya meredeksége egy $\displaystyle \alpha$ hajlásszögű lejtő meredekségével egyezik meg, ahol

$\displaystyle \tg\alpha=\frac{h}{d\pi}.$

A bob sebességének vízszintes irányú összetevője $\displaystyle v\cos\alpha$, és a mozgás vízszintes vetülete $\displaystyle R=d/2$ sugarú egyenletes körmozgás, amit a jégpálya által kifejtett

$\displaystyle F_1=m\frac{(v\cos\alpha)^2}{R}$

nagyságú erő biztosít. A jégpálya ezen kívül még

$\displaystyle F_2=mg\cos\alpha$

nagyságú, a sebességre és $\displaystyle {\boldsymbol F}_1$-re merőleges erőt is kifejt, ez biztosítja, hogy a bob $\displaystyle \boldsymbol F_2$ irányú (és ezzel együtt a függőleges iurányú) gyorsulása nulla legyen. A pálya által kifejtett nyomóerő $\displaystyle {\boldsymbol F}_1$ és $\displaystyle {\boldsymbol F}_2$ vektori összege. Végül a sebességgel ellentétes irányú súrlódási erő

$\displaystyle S=mg\sin\alpha$

nagyságú, hiszen (a csavarvonal legnagyobb részén) a bob sebességének nagysága is állandó. A csúszó súrlódás feltétele:

$\displaystyle mg\sin\alpha=\mu \sqrt{F_1^2+F_2^2},$

vagyis

Az egyenes szakaszon a bob $\displaystyle \mu g$ lassulással mozog, tehát a megállásáig

utat tesz meg. Innen a sebességet kifejezve és azt (1)-be helyettesítve az alábbi egyenletet kapjuk:

$\displaystyle \left(\frac{4s}{d}\cos\alpha \right)^2\mu^4+\mu^2-\tg^2\alpha=0.$

Ez $\displaystyle \mu^2$-re nézve másodfokú egyenlet, melynek megoldása $\displaystyle \mu=0{,}02$, és (2) szerint a bobok legnagyobb sebessége $\displaystyle v\approx 10{,}4~{\rm m/s=37~\rm km/h}.$

Statisztika:

43 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Csépányi István, Elek Péter, Fekete András Albert, Jánosik Áron, Kupás Lőrinc, Mácsai Dániel, Marozsák Tádé, Máth Benedek, Olosz Adél, Tiefenbeck Flórián, Turcsányi Ádám.
4 pontot kapott:	Bokor Endre, Conrád Márk, Debreczeni Tibor, Fekete Levente, Forgács Kata, Györgyfalvai Fanni, Hervay Bence, Laposa Hédi, Makovsky Mihály, Merkl Gergely, Merkl Levente, Sepsi Csombor Márton, Sümegi Géza, Varga Vázsony, Virág Levente.
3 pontot kapott:	13 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2018. októberi fizika feladatai