 |
A P. 5079. feladat (2018. december) |
P. 5079. Középen átfúrt, azonos tömegű gyurmagolyók csúszhatnak egy hosszú, egyenes rúdon. Ha a rudat enyhén lejtősre állítjuk, a golyók maguktól még nem indulnak el, viszont ha elindítjuk őket, gyorsulva csúsznak lefelé. Finoman elindítva a legfelső golyót, ez eléri az alatta levőt. Ekkor összetapadnak, és együtt csúsznak tovább. Nekiütköznek a következő golyónak, ezzel is összetapadva csúsznak tovább, és így tovább. Azt tapasztaljuk, hogy mindegyik ütközés mindig ugyanakkora sebességnél következik be. Mekkora volt kezdetben az \(\displaystyle n\)-edik és az \(\displaystyle (n+1)\)-edik golyó közötti \(\displaystyle L_n\) távolság, ha az első két golyó távolsága \(\displaystyle L_1\) volt?
Közli: Fajszi Bulcsú, Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn.
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Írjuk fel a munkatételt az indulástól az első ütközés előtti \(\displaystyle v_0\) sebességű állapotig! Ha egy-egy gyurmagolyó tömege \(\displaystyle m\), akkor
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_0^2= mgL_1\sin\alpha-\mu mg L_1\cos\alpha,\)
vagyis
| \(\displaystyle (1)\) | \(\displaystyle v_0^2= 2L_1g(\sin\alpha-\mu\cos\alpha).\) |
Az \(\displaystyle n\)-edik gyurmagolyónak \(\displaystyle (n-1)\) darab, tehát \(\displaystyle (n-1)m\) tömegű, már összetapadt gyurma ütközik \(\displaystyle v_0\) sebességgel. A rugalmatlan ütközés utáni sebességük
| \(\displaystyle (2)\) | \(\displaystyle u_n=\frac{n-1}{n}v_0,\) |
a tömegük \(\displaystyle nm\) lesz.
A továbbiakban alkalmazhatjuk a munkatételt az \(\displaystyle (n+1)\)-edik golyó eléréséig terjedő útszakaszon:
| \(\displaystyle (3)\) | \(\displaystyle n\cdot\frac{1}2mv_0^2= n\frac{1}2mu_n^2+mgn(\sin\alpha-\mu\cos\alpha)\cdot L_n.\) |
Az (1), (2) és (3) egyenletből a keresett távolságok kifejezhetők:
\(\displaystyle L_n=\frac{2n-1}{n^2}L_1.\)
Statisztika:
61 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Andorfi István, Arhaan Ahmad, Balogh Zsófia, Békési Ábel, Bokor Endre, Bukor Benedek, Csépányi István, Elek Péter, Endrész Balázs, Fiam Regina, Fonyi Máté Sándor, Fülöp Sámuel Sihombing, Hervay Bence, Hisham Mohammed Almalki, Horváth 999 Anikó, Jánosik Áron, Jánosik Máté, Kertész Balázs, Klučka Vivien, Lipták Gergő, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Marozsák Tádé, Máth Benedek, Merkl Gergely, Merkl Levente, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Nagyváradi Dániel, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Rusvai Miklós, Sal Dávid, Schneider Anna, Szabó 314 László, Szoboszlai Szilveszter, Tafferner Zoltán, Telek Dániel, Tiefenbeck Flórián, Toronyi András, Tran Quoc Dat, Varga Vázsony, Vaszary Tamás, Viczián Anna, Virág Levente. 4 pontot kapott: 5 versenyző. 3 pontot kapott: 2 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 5 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2018. decemberi fizika feladatai