A P. 5084. feladat (2018. december)

P. 5084. Hogyan változik meg egy tükörre merőlegesen beeső fény hullámhossza, ha a tükör $\displaystyle v$ sebességgel mozog a rá eső fénnyel azonos irányban?

$\displaystyle a)$ $\displaystyle v=150~\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$;

$\displaystyle b)$ $\displaystyle v=150\,000~\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{s}}$.

Példatári feladat nyomán

(5 pont)

A beküldési határidő 2019. január 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Legyen a tükörre eső fény hullámhossza $\displaystyle \lambda_1$, a visszavert fényé pedig $\displaystyle \lambda_2$.

$\displaystyle a)$ A mozgó tükör nyugalmi rendszerében a tükörre eső fény hullámhossza (a nemrelativisztikus Doppler-képlet szerint)

$\displaystyle \lambda_0=\left(1+\frac{v}{c}\right)\lambda_1.$

Ugyanekkora hullámhosszúságú fény verődik vissza az álló tükör vonatkoztatási rendszerében mérve, amit a laboratóriumi rendszerben

$\displaystyle \lambda_2=\left(1+\frac{v}{c}\right)\lambda_0=\left(1+\frac{v}{c}\right)^2\lambda_1=1{,}000\,001\,\lambda_1$

hullámhosszúságúnak észlelünk.

Megjegyzés. Ugyanezt az eredményt kapjuk, ha a Doppler-effektust a

$\displaystyle \lambda_2=\left(1-\frac{v}{c}\right)^{-1}\lambda_0=\frac{c+v}{c-v} \lambda_1=1{,}00\,000\,1\,\lambda_1$

képlet alapján számítjuk, mindaddig, amíg $\displaystyle v\ll c$.

A kétféle számolás között az a kísérlet dönthetne, amelyik megmutatja: melyik koordináta-rendszerben terjed a fény $\displaystyle c$ sebességgel: a laboratóriumi rendszerben, vagy pedig a tükörrel együttmozgó rendszerben? Erre a válasz – mint tudjuk – az, hogy mindkettőben, de az eredményt sem az egyik, sem a másik összefüggés nem adja meg helyesen, hanem a relativisztikus Doppler-egyenletet kell használnunk.

A fény hullámhossza tehát megnő, a relatív változás: $\displaystyle \frac{\Delta \lambda}{\lambda_1}=\frac{\lambda_2-\lambda_1}{\lambda_1}=1\cdot 10^{-6}=0{,}000\,1\%.$

$\displaystyle b)$ Amennyiben $\displaystyle v$ összemérhető $\displaystyle c$-vel, relativisztikus megfontolásokra van szükségünk. Tekintsünk egy (a laboratóriumi rendszerben) ,,álló'' fényforrást és egy – a fényforrástól $\displaystyle v$ sebességgel távolodó tükröt. Bocsásson ki a fényforrás egy $\displaystyle T_1$ ideig tartó fényjelet a tükör felé. A jel akkor kezdődjön, amikor a tükör éppen a fényforrásnál található.

A fényjel vége $\displaystyle T_0$ idő alatt éri el a tükröt, amikor az $\displaystyle x$ távolságra kerül a fényforrástól. Felírhatjuk, hogy

$\displaystyle x=vT_0, \qquad \text{valamint}\qquad x=c\left(T_0-T_1\right).$

Innen

$\displaystyle T_0=\frac{c}{c-v}T_1 \qquad \text{és}\qquad x=\frac{cv}{c-v}T_1.$

A tükörről visszaverődő fényjel vége

$\displaystyle T_2=T_0+\frac{x}{c}=\frac{c+v}{c-v}T_1$

időpontban érkezik vissza a fényforráshoz. A visszavert és a kibocsátott fény frekvenciája $\displaystyle T_1/T_2$ arányban csökken (hiszen a fényjelben lévő rezgések száma ugyanakkora), a hullámhosszak aránya pedig

$\displaystyle \frac{\lambda_2}{\lambda_1}=\frac{c+v}{c-v}=3.$

A fény hullámhossza tehát ebben az esetben is megnő, a relatív változás +200%.

Megjegyzés. A $\displaystyle b)$ kérdésre adott válasz (ami közelítésmentes összefüggés) egyúttal a relativisztikus Doppler-képlet levezetésének is tekinthető. Ha ugyanis a laboratóriumban $\displaystyle \lambda_1$ hullámhosszúságúnak mért fény hullámhossza a laboratóriumhoz képest $\displaystyle v$ sebességgel mozgó tükör nyugalmi rendszerében $\displaystyle K$-szor nagyobb (ahol $\displaystyle K$ valamilyen, a sebességtől függő tényező), vagyis a tükörre érkező és onnan visszaverődő fény hullámhossza (a tükör koordináta-rendszerében) $\displaystyle \lambda^*=K(v)\lambda_1,$ akkor ezt a fényt a tükörhöz képest ugyancsak $\displaystyle v$ sebességgel mozgó laboratóriumi rendszerben

$\displaystyle \lambda_2=K\lambda^*=K^2\lambda_1$

hullámhosszúságúnak észleljük. Ezek szerint $\displaystyle K= \sqrt{\frac{c+v}{c-v}},$ ilyen arányban növekszik a fény hullámhossza, és $\displaystyle \frac{1}{K}=\sqrt{\frac{c-v}{c+v}}$ arányban csökken a fény frekvenciája, ha az egymástól $\displaystyle v$ sebességgel távolodó koordinátarendszerek adatait hasonlítjuk össze.

Statisztika:

33 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bokor Endre, Boros Máté, Bukor Benedek, Csépányi István, Debreczeni Tibor, Elek Péter, Fülöp Sámuel Sihombing, Hisham Mohammed Almalki, Mácsai Dániel, Makovsky Mihály, Markó Gábor, Marozsák Tádé, Molnár Mátyás, Morvai Orsolya, Sal Dávid, Tiefenbeck Flórián, Varga Vázsony.
4 pontot kapott:	Fonyi Máté Sándor.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2018. decemberi fizika feladatai