A P. 5089. feladat (2019. január)

P. 5089. Az ábrán látható, súrlódásmentes pálya két körívből áll. A pálya $\displaystyle A$ pontjából nagyon kicsi kezdősebességgel indulva csúszik egy apró test. Mennyi idő alatt jut el a test a görbült pálya jobb oldali végéig (a $\displaystyle B$ pontig)?

Közli: Simon Péter, Pécs

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy $\displaystyle d$ szélességű és $\displaystyle h$ mélységű körív $\displaystyle \ell$ sugara a Pitagorasz-tétel segítségével határozható meg:

$\displaystyle \left(\frac{d}{2}\right)^2+(\ell-h)^2= \ell^2,$

ahonnan

$\displaystyle \ell= \frac{d^2}{8h}+\frac{h}{2}.$

A feladat ábráján látható adatokkal a bal oldali körív sugara $\displaystyle \ell_1=151{,}5$ cm, a jobb oldali körív sugara pedig $\displaystyle \ell_2=268{,}2$ cm. A kicsiny test mozgása a köríveken éppen olyan, mint egy $\displaystyle \ell_1$, illetve $\displaystyle \ell_2$ hosszúságú fonálinga fél-fél lengése. (Ez jól látszik onnan, hogy – az energiamegmaradás törvénye szerint – mindkét mozgásnál a pályák egymásnak megfeleltethető pontjaiban ugyanakkora a test sebessége.) Az $\displaystyle A$ pontból a $\displaystyle B$ pontba jutás teljes időtartama tehát

$\displaystyle T=\pi\sqrt{\frac{\ell_1}{g}}+\pi\sqrt{\frac{\ell_2}{g}}=\pi\left(\sqrt{\frac{1{,}51~\rm m}{9{,}81~\rm m/s^2}}+\sqrt{\frac{2{,}68~\rm m}{9{,}81\rm m/s^2}}\right)\,{\rm s}\approx2{,}9~{\rm s}.$

Statisztika:

64 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Andorfi István, Antal Virág Anna, Bekes Barnabás, Békési Ábel, Boros Máté, Conrád Márk, Debreczeni Tibor, Fekete András Albert, Fekete Levente, Fiam Regina, Fülöp Sámuel Sihombing, Gál Péter Levente, Györgyfalvai Fanni, Hartmann Alice, Havasi Márton, Hervay Bence, Hisham Mohammed Almalki, Horváth 999 Anikó, Jánosik Áron, Klučka Vivien, Markó Gábor, Morvai Orsolya, Pálfi Fanni, Rusvai Miklós, Schneider Anna, Schrott Márton, Selmi Bálint, Sepsi Csombor Márton, Szabó 314 László, Szoboszlai Szilveszter, Telek Dániel, Tóth Ábel, Vass Bence, Virág Levente.
3 pontot kapott:	Hamar Dávid, Kertész Balázs, Köpenczei Csanád, Köpenczei Csenge, Lipták Gergő, Marozsák Tádé, Merkl Gergely, Merkl Levente, Nagyváradi Dániel, Osvárt Bence Attila, Solymosi Réka, Sümegi Géza, Viczián Anna, Zeke Norbert.
2 pontot kapott:	7 versenyző.
1 pontot kapott:	5 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.
Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt:	1 dolgozat.

A KöMaL 2019. januári fizika feladatai