 |
A P. 5093. feladat (2019. január) |
P. 5093. Egy űrállomáson a súlytalanság állapotában végzett kísérlet kérdése speciális ,,kozmikus sebességgel'' kapcsolatos: Egy \(\displaystyle R=10\) cm sugarú, \(\displaystyle Q=-10^{-7}\) C töltésű, homogén töltéseloszlású szigetelőgömb felületétől \(\displaystyle d=2~\)cm-re mekkora az első és a második kozmikus sebesség egy \(\displaystyle m=0{,}1~\)g tömegű, \(\displaystyle q=2\cdot10^{-9}\) C töltésű, pontszerű testre vonatkozóan?
Közli: Holics László, Budapest
(4 pont)
A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.
Megoldás. Az első ,,kozmikus sebesség'' \(\displaystyle (v_1)\) a gömbtől adott távolságban körpályán mozgó test sebessége. A mozgásegyenlet szerint
\(\displaystyle k\frac{q\vert Q \vert}{(R+d)^2}=m\frac{v_1^2}{R+d},\)
ahonnan
\(\displaystyle v_1=\sqrt{\frac{kqQ\vert Q \vert}{m(R+d)}}=0{,}39~\frac{\rm m}{\rm s}.\)
A második ,,kozmikus sebesség'' \(\displaystyle (v_2)\) az adott helyhez tartozó szökési sebesség, vagyis amelyhez tartozó mozgási energia a Coulomb-féle kötési energia nagyságával egyenlő:
\(\displaystyle \frac{1}{2}mv_2^2=k\frac{q\vert Q \vert}{(R+d)},\)
innen
\(\displaystyle v_2=\sqrt{2\frac{kq\vert Q \vert}{m(R+d)}}=\sqrt{2}\,v_1=0{,}55~\frac{\rm m}{\rm s}.\)
Megjegyzés. A gravitációs kölcsönhatáshoz tartozó analóg képletek:
\(\displaystyle \gamma\frac {m_\text{gravitációs}\,M}{(R+d)^2}=m_\text{tehetetlen}\,\frac{v_1^2}{R+d},\)
illetve
\(\displaystyle \frac12 m_\text{tehetetlen} \,v_2^2 =\gamma\frac {m_\text{gravitációs}\,M}{(R+d)}.\)
Mivel \(\displaystyle m_\text{gravitációs}=m_\text{tehetetlen},\) a képletek egyszerűbbé válnak, azokból a pontszerű test tömege (,,gravitációs töltése'') kiesik:
\(\displaystyle v_1=\sqrt{\frac{\gamma M}{R+d}} \qquad \text{és}\qquad v_2=\sqrt{\frac{2\gamma M}{R+d}}.\)
Statisztika:
67 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 54 versenyző. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 3 versenyző. Nem számítjuk a versenybe a születési dátum vagy a szülői nyilatkozat hiánya miatt: 1 dolgozat.
A KöMaL 2019. januári fizika feladatai