 |
A P. 5094. feladat (2019. január) |
P. 5094. Három, \(\displaystyle L=20~\)cm hosszúságú szigetelőfonál egyik végéhez \(\displaystyle m=1~\)g tömegű, pontszerűnek tekinthető testeket erősítettek, amelyek töltése (egyenként) \(\displaystyle Q=3{,}1\cdot 10^{-7}\) C. A fonalak másik végét közös pontban rögzítették. Kezdetben a feszes fonalak a függőlegessel \(\displaystyle \alpha=30^\circ\)-os szöget zárnak be, és a kis testek egy szabályos háromszöget alkotnak. Ezt követően egyszerre elengedjük a testeket.
\(\displaystyle a)\) Mekkora szöget zárnak be a fonalak a függőlegessel, amikor a testek sebessége maximális?
\(\displaystyle b)\) Mekkora a testek legnagyobb sebessége?
Közli: Zsigri Ferenc, Budapest
(5 pont)
A beküldési határidő 2019. február 11-én LEJÁRT.
I. megoldás. \(\displaystyle a)\) Amikor a testek sebessége maximális, akkor a sebességük nagysága nem változik, tehát a rájuk ható eredő erőnek nincsen a sebességükkel párhuzamos komponense.
Az elrendezés szimmetriája miatt a három test mindig szabályos háromszöget alkot, melynek oldalai
\(\displaystyle \ell=\sqrt{3}L\sin\varphi \)
hosszúságúak, ahol \(\displaystyle \varphi\) a fonalaknak a függőlegessel bezárt szöge. (Kezdetben \(\displaystyle \varphi=\alpha\) és \(\displaystyle \ell=a\).)
Tekintsük az egyik testet, amely \(\displaystyle L\) sugarú körpályán mozog. A testre függőlegesen lefelé \(\displaystyle mg\) nehézségi erő, vízszintes irányban (a másik két test által kifejtett) \(\displaystyle \sqrt{3}kQ^2/\ell^2\) nagyságú elektrosztatikus taszítóerő hat. Ezek eredője a legnagyobb sebességnek megfelelő helyzetben fonál irányú, vagyis
\(\displaystyle mg\sin\varphi=\frac{kQ^2}{\sqrt{3}L^2\sin^2\varphi}\cos\varphi\)
teljesül. Ezt az egyenletet
\(\displaystyle \sin^3\varphi=\lambda\,\cos\varphi\)
alakban is felírhatjuk, ahol
\(\displaystyle \lambda=\frac{kQ^2}{\sqrt{3}mgL^2}=1{,}27.\)
A fenti egyenlet \(\displaystyle x=\tg\varphi\) helyettesítéssel harmadfokú egyenletté alakítható:
\(\displaystyle x^2-1{,}27x^2-1{,}27=0,\)
amelynek egyetlen valós gyöke \(\displaystyle x=1{,}704\), azaz
\(\displaystyle \varphi=59{,}6^\circ\approx 60^\circ.\)
\(\displaystyle b)\) A testek legnagyobb sebességét a rendszer összes (mozgási + gravitációs + elektrosztatikus) energiájának állandóságából határozhatjuk meg.
\(\displaystyle -3mgL\cos\alpha+3\frac{kQ^2}{\sqrt{3}L\sin\alpha}=3\cdot\frac{1}{2}mv^2-3mgL\cos\varphi+3\frac{kQ^2}{\sqrt{3}L\sin\varphi},\)
innen az ismert, illetve már kiszámított adatok behelyettesítése után kapjuk, hogy
\(\displaystyle v=1{,}67~\frac{\rm m}{\rm s}.\)
II. megoldás. Az energiamegmaradás tétele szerint (lásd az I. megoldást)
\(\displaystyle \frac{v^2}{6gL}=\left(\cos\varphi- \frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\lambda \left(2-\frac{1}{\sin\varphi}\right) \equiv f(\varphi).\)
\(\displaystyle a)\) A legnagyobb sebességű helyzetben az \(\displaystyle f(\varphi)\) deriváltja eltűnik:
\(\displaystyle -\sin\varphi+\lambda\frac{\cos\varphi}{\sin^2\varphi}=0,\)
melynek numerikus megoldása (lásd pl. www.wolframalpha.com): \(\displaystyle \varphi=\varphi_0=59{,}6^\circ.\)
\(\displaystyle b)\) A maximális sebesség: \(\displaystyle v=\sqrt{2gL\cdot f(\varphi_0)}=1{,}67~\frac{\rm m}{\rm s}.\)
Statisztika:
38 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Bekes Barnabás, Bokor Endre, Csépányi István, Lipták Gergő, Makovsky Mihály, Molnár Mátyás, Sal Dávid, Tiefenbeck Flórián, Vass Bence. 4 pontot kapott: Hisham Mohammed Almalki, Jánosik Áron, Keltai Dóra, Marozsák Tádé, Máth Benedek, Merkl Gergely, Morvai Orsolya, Németh Csaba Tibor, Olosz Adél, Pácsonyi Péter, Toronyi András, Vaszary Tamás, Viczián Anna, Zámbori Zalán. 3 pontot kapott: 13 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző.
A KöMaL 2019. januári fizika feladatai