 |
A P. 5112. feladat (2019. március) |
P. 5112. Egy \(\displaystyle H\) magasságú falról \(\displaystyle v_0\) kezdősebességgel, a vízszintessel \(\displaystyle \alpha\) szöget bezáró irányban eldobtunk egy hógolyót. Ugyanebben a pillanatban mekkora és milyen irányú sebességgel indult el egy gyerek a faltól \(\displaystyle s\) távolságban lévő pontból, ha a hógolyó az egyenletesen, egyenes vonalban mozgó gyereket éppen eltalálta? (A légellenállást ne vegyük figyelembe! A mozgások egy, a falra merőleges síkban történnek.)
Adatok: \(\displaystyle H=45\) m, \(\displaystyle s=21\) m, \(\displaystyle v_0=5\) m/s, \(\displaystyle \alpha=30^\circ\).
Közli: Kobzos Ferenc, Dunaújváros
(4 pont)
A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.
Megoldás. Az eldobott hógolyó mozgásának \(\displaystyle t\) idejét a
\(\displaystyle \frac{g}{2}t^2-v_0t\sin\alpha=H\)
másodfokú egyenletből kaphatjuk meg. Ennek pozitív megoldása: \(\displaystyle t\approx 3{,}3~\)s. Ennyi idő alatt a hógolyó vízszintes irányban
\(\displaystyle s'=v_0\cos\alpha\cdot t \approx 14{,}3~\rm m\)
utat tesz meg, tehát a gyerek indulási helyénél közelebb esik le a földre. Ezek szerint a gyereknek \(\displaystyle s=21\) m távolságból a fal felé kell elindulnia, és ha
\(\displaystyle v'=\frac{s-s'}{t}\approx 2{,}0~\frac{\rm m}{\rm s}\)
sebességgel egyenletesen halad, a fal tetejéről eldobott hógolyó éppen eltalálja.
Megjegyzés. A feladat szövege úgy is értelmezhető, hogy a fal tetejéről a vízszinteshez képest lefelé dobtuk el a hógolyót. Ekkor az esés idejét a
\(\displaystyle \frac{g}{2}t^2+v_0t\sin\alpha=H\)
másodfokú egyenletből kaphatjuk meg. Ennek pozitív megoldása: \(\displaystyle t\approx 2{,}8~\)s. Ennyi idő alatt a hógolyó vízszintes irányban
\(\displaystyle s'=v_0\cos\alpha\cdot t \approx 12{,}0~\rm m\)
utat tesz meg, tehát a gyerek indulási helyénél közelebb esik le a földre. Ezek szerint a gyereknek \(\displaystyle s=21\) m távolságból a fal felé kell elindulnia, és ha
\(\displaystyle v'=\frac{s-s'}{t}\approx 3{,}2~\frac{\rm m}{\rm s}\)
sebességgel egyenletesen halad (szalad), a fal tetejéről eldobott hógolyó éppen eltalálja.
A fizika szempontjából mindkét értelmezés elfogadható, bár az első életszerűbb. (A hógolyókat általában ferdén felfelé dubjuk el, vízszintes talajon nem is tehetünk másképp. A fal tetejéről is csak akkor dobhatjuk el a hógolyót ferdén lefelé, ha közvetlenül a fal szélénél állunk, ez viszont nagyon veszélyes ,,mutatvány'' lenne.)
A pontversenyben bármelyik értelmezés szerinti helyes megoldásra a teljes pontszám jár.
Statisztika:
76 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 62 versenyző. 3 pontot kapott: 8 versenyző. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 1 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző.
A KöMaL 2019. márciusi fizika feladatai