A P. 5112. feladat (2019. március)

P. 5112. Egy $\displaystyle H$ magasságú falról $\displaystyle v_0$ kezdősebességgel, a vízszintessel $\displaystyle \alpha$ szöget bezáró irányban eldobtunk egy hógolyót. Ugyanebben a pillanatban mekkora és milyen irányú sebességgel indult el egy gyerek a faltól $\displaystyle s$ távolságban lévő pontból, ha a hógolyó az egyenletesen, egyenes vonalban mozgó gyereket éppen eltalálta? (A légellenállást ne vegyük figyelembe! A mozgások egy, a falra merőleges síkban történnek.)

Adatok: $\displaystyle H=45$ m, $\displaystyle s=21$ m, $\displaystyle v_0=5$ m/s, $\displaystyle \alpha=30^\circ$.

Közli: Kobzos Ferenc, Dunaújváros

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Az eldobott hógolyó mozgásának $\displaystyle t$ idejét a

$\displaystyle \frac{g}{2}t^2-v_0t\sin\alpha=H$

másodfokú egyenletből kaphatjuk meg. Ennek pozitív megoldása: $\displaystyle t\approx 3{,}3~$s. Ennyi idő alatt a hógolyó vízszintes irányban

$\displaystyle s'=v_0\cos\alpha\cdot t \approx 14{,}3~\rm m$

utat tesz meg, tehát a gyerek indulási helyénél közelebb esik le a földre. Ezek szerint a gyereknek $\displaystyle s=21$ m távolságból a fal felé kell elindulnia, és ha

$\displaystyle v'=\frac{s-s'}{t}\approx 2{,}0~\frac{\rm m}{\rm s}$

sebességgel egyenletesen halad, a fal tetejéről eldobott hógolyó éppen eltalálja.

Megjegyzés. A feladat szövege úgy is értelmezhető, hogy a fal tetejéről a vízszinteshez képest lefelé dobtuk el a hógolyót. Ekkor az esés idejét a

$\displaystyle \frac{g}{2}t^2+v_0t\sin\alpha=H$

másodfokú egyenletből kaphatjuk meg. Ennek pozitív megoldása: $\displaystyle t\approx 2{,}8~$s. Ennyi idő alatt a hógolyó vízszintes irányban

$\displaystyle s'=v_0\cos\alpha\cdot t \approx 12{,}0~\rm m$

utat tesz meg, tehát a gyerek indulási helyénél közelebb esik le a földre. Ezek szerint a gyereknek $\displaystyle s=21$ m távolságból a fal felé kell elindulnia, és ha

$\displaystyle v'=\frac{s-s'}{t}\approx 3{,}2~\frac{\rm m}{\rm s}$

sebességgel egyenletesen halad (szalad), a fal tetejéről eldobott hógolyó éppen eltalálja.

A fizika szempontjából mindkét értelmezés elfogadható, bár az első életszerűbb. (A hógolyókat általában ferdén felfelé dubjuk el, vízszintes talajon nem is tehetünk másképp. A fal tetejéről is csak akkor dobhatjuk el a hógolyót ferdén lefelé, ha közvetlenül a fal szélénél állunk, ez viszont nagyon veszélyes ,,mutatvány'' lenne.)

A pontversenyben bármelyik értelmezés szerinti helyes megoldásra a teljes pontszám jár.

Statisztika:

76 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	62 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2019. márciusi fizika feladatai