A P. 5113. feladat (2019. március)

P. 5113. Mennyit csökken méterenként egy 80 kg tömegű ember súlya, ha az Egyenlítőn épített toronyban halad felfelé?

Közli: Vass Miklós, Budapest

(4 pont)

A beküldési határidő 2019. április 10-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy \(\displaystyle m\) tömegű test mozgásegyenlete (inerciarendszerben) az \(\displaystyle M\) tömegű, \(\displaystyle R\) sugarú Föld ,,talajszintje'' felett \(\displaystyle h=1~\)m magaságban fekvő körpályán:

\(\displaystyle \gamma\frac{mM}{(R+h)^2}-G(R+h)=m(R+h)\omega^2,\)

ahonnan a \(\displaystyle h\) magasságban mérhető súly

\(\displaystyle G(R+h)=m\left(\gamma\frac{M}{(R+h)^2}-(R+h)\omega^2\right).\)

A súlyváltozás a talajszinten mérhető súlyhoz képest (\(\displaystyle h\ll R\) magasságkülönbség esetén):

\(\displaystyle \Delta G=G(R+h)-G(R)\approx m\left( -2 \gamma \frac{M}{R^3}-\omega^2\right)\cdot h= m\left( -2\frac{g_0}{R}-\omega^2\right)\cdot h,\)

ahol \(\displaystyle g_0=9{,}8\,\rm m/s^2\) a nehézségi gyorsulás az Egyenlítőn lévő torony aljánál. Mivel \(\displaystyle g_0/R\gg \omega^2\), a súlyváltozást így számolhatjuk:

\(\displaystyle \frac{\Delta G}{G}=-2\frac{h}{R},\)

vagyis a toronyban felfelé haladó ember súlya méterenként kb. \(\displaystyle 3\cdot10^{-7}\)-ed résznyivel csökken. Egy 80 kg tömegű embernél ez a csökkenés \(\displaystyle 2{,}5\cdot10^{-4}\) N, ami egy 25 mg tömegű test súlyával egyezik meg.

Statisztika:

64 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Békési Ábel, Bonifert Balázs, Conrád Márk, Debreczeni Tibor, Fekete András Albert, Fekete Levente, Kertész Balázs, Kozák 023 Áron, Mácsai Dániel, Merkl Gergely, Merkl Levente, Morvai Orsolya, Nagy Balázs, Sal Dávid, Schneider Anna, Sepsi Csombor Márton, Simon Tamás, Szabó 314 László, Tafferner Zoltán, Tiefenbeck Flórián, Toronyi András, Viczián Anna.
3 pontot kapott:	33 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.

A KöMaL 2019. márciusi fizika feladatai